Всеволод Беллюстин - Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей Страница 33

такихъ же единицъ (по порядку, принятому въ настоящее время въ геометріи, сторону эту можно выразить въ десятичныхъ дробяхъ чрезъ 0,30902, при діаметрѣ, равномъ единицѣ).

Горизонтальная черта, которой подчеркивались цѣлыя чиcла, была замѣнена впослѣдствіи знакомъ °, и самимъ долямъ были присвоены названія: минуты, секунды, терціи и т. д. Что значатъ эти слова? Минута значитъ «доля», и долго послѣ Птоломея, болѣе тысячи лѣтъ, всевозможныя доли всегда назывались минутами (minutae). Къ слову минута присоединялось, обыкновенно, слово прима (prima), и выраженіе «minuta prima» обозначало первыя доли, иначе сказать доли перваго порядка, т.-е. со знаменателемъ 60. Далѣе шли доли со знаменателемъ 3600, онѣ назывались минутами секундами, т.-е. долями второго порядка, такъ какъ 3600 = 60·60. Потомъ слѣдовали минуты терціи, доли третьяго порядка, у которыхъ знаменатель 60·60·60.

Шестидесятеричныя дроби, какъ мы уже сказали, служили не только для геометріи и астрономіи, но являлись преобладающими во всѣхъ наукахъ и даже въ практической жизни. Онѣ стали терять свое значеніе только тогда, когда начали вводиться десятичныя дроби, приблизительно около ХVІ в. по Р. X. Кромѣ того, въ торговыхъ разсчетахъ нѣкоторую конкуренцію имъ составляли обыкновенныя дроби, которыя носили названіе «простонародныхъ», а также унціи, изучавшіяся во всѣхъ латинскихъ школахъ.

Десятичныя дроби.

Первые намеки на десятичныя дроби можно прослѣдить у творцовъ ариѳметики,—индусовъ. Они пользовались ими при извлеченіи квадратныхъ корней, въ тѣхъ случаяхъ, когда корень не извлекается точно; тогда они прписывали столько паръ нулей, сколько желательно имѣть лишнихъ знаковъ въ корнѣ. Индусы писали десятичныя дроби со знаменателями, и имъ не удалось распространить общей десятичной нумераціи также и на дроби. Заслуга въ этомъ отношеніи принадлежитъ арабамъ, и въ частности тѣмъ арабамъ, которые жили въ Испаніи. Между 1130 и 1150 г. по Р. X. появилось въ Толедо сочиненіе «Практическая ариѳметика алгоризма», принадлежащее Іоанну Севильскому. У него уже замѣтны явственные слѣды десятичныхъ дробей, и при томъ съ такимъ характеромъ, какой онѣ носятъ у насъ.

Послѣ Іоанна Севильскаго десятичныя дроби какъ-то стушевываются, тѣмъ болѣе, что тѣ времена были не особенно благопріятны вообще для западно-европейской науки. Но идея не пропала, и ее мы видимъ возрожденной у Кардана (XVI ст.). Между прочимъ, онѣ стали примѣняться въ тригонометріи для вычисленія синусовъ. Кр-мѣ того, стали ими пользоваться при дѣленіи съ остаткомъ, чтобы выразить отвѣтъ точнѣе и дать въ частномъ не только цѣлыя числа, но и рядъ долей съ десятичными знаменателяии. Грамматеусъ въ 1523 году совѣтуетъ примѣнять десятичныя дроби къ такому случаю. Пусть требуется сравнить ⅝ съ ⅔ и узнать, которая величина больше. Тогда мы къ каждому числителю приписываемъ по нулю, иначе сказать—раздробляемъ въ десятыя доли, и дѣлимъ на знаменателя, получимъ 62½ и 66⅔, слѣд., вторая величина болѣе первой.

Честь полнаго введенія десятичныхъ дробей и ихъ толковаго объясненія приписывается Симону Стевину изъ Брюгге (въ Бельгіи), жившему съ 1548 по 1620 г. Заглавіе его сочиненія такое: «La disme ensignant facilement expédier par nombres entiers sans rompouz tous comptes se rencontrans aux affaires des hommes». Вмѣсто запятой, отдѣляющей цѣлыя числа отъ долей, это сочиненіе рекомендуетъ ставить нуликъ. заключенный въ скобки. Точно также и у долей былъ при каждомъ разрядѣ значекъ, напр., 34,7605 писалось слѣдующимъ образомъ: 34 (°) 7 (1) 6 (2) 0 (3) 5 (4). Съ такимъ обозначеніемъ десятичныя дроби входили и въ дѣйствія. Положимъ, требовалось умножить 0,0426 на 0,28; тогда вычисленіе располагалось такъ:

Сочиненіе Стевина появилось первоначально въ 1585 г. на фламандскомъ нарѣчіи, а потомъ уже оно было переведено и на французскій языкъ. Десятыя, сотыя и т. д. доли назывались долями первыми, вторыми и т. д. (primes, secondes). Стевинъ ясно видѣлъ, что десятичныя дроби были бы особенно полезны въ томъ случаѣ, если бы вездѣ была принята десятичная система мѣръ; поэтому онъ энергично настаивалъ на введеніи десятичной системы мѣръ. Впрочемъ, его сочиненіе не сдѣлалось извѣстнымъ за предѣлами отечества, и, напр., въ Германіи заслуга введенія десятичныхъ дробей приписывается Бейеру (1563—1625).

Самъ Бейеръ такимъ образомъ излагаетъ путь, которымъ онъ дошелъ до мысли о десятичныхъ дробяхъ: «въ свободное отъ своей службы (Бейеръ былъ врачомъ) время любилъ я иногда заняться астрономіей и математикой; и я обратилъ вниманіе на то, что техники и ремесленники, когда измѣряютъ какую-нибудь длину, то очень рѣдко и лишь въ исключительныхъ случаяхъ выражаютъ ее въ цѣлыхъ числахъ одного наименованія; обыкновенно имъ приходится или брать мелкія мѣры, или обращаться къ дробямъ; точно также астрономы измѣряютъ величины не только въ градусахъ, но и въ доляхъ градусовъ, т. е. въ минутахъ, секундахъ и т. д.; но мнѣ кажется, что ихъ дѣленіе на 60 частей не такъ удобно, какъ дѣленіе на 10, на 100 частей, потому что въ послѣднемъ случаѣ гораздо легче складывать, вычитать и вообще производить ариѳметическія дѣйствія; мнѣ кажется, что десятичныя доли, если бы ихъ ввести вмѣсто шестидесятеричныхъ, пригодились бы не только для астрономіи, но и для всякаго рода вычисленій». Для наглядности Бейеръ дѣлитъ прямую линію на 10 равныхъ частей и называетъ каждый отрѣзокъ примой, т.-е. первой долей, или долей перваго порядка; и каждая прима дѣлится, въ свою очередь, на 10 равныхъ частей и даетъ 10 секундъ, т.-е. долей второго порядка; изъ секун-ды получается 10 терцій и т. д. Такимъ образомъ ясно видно, что Бейеръ воспользовался для десятичныхъ дробей тѣми же названіями, какія были въ употребленіи въ шестидесятеричныхъ дробяхъ. Такое же заимствованіе сдѣлалъ онъ и въ записываніи дробей, потому что, напр., 123, 459872 Бейеръ пишетъ такъ:

т.-е. приводя доли въ трехразрядные классы, или же, наконецъ,

—здѣсь отмѣченъ римской цифрой VI только послѣдній разрядъ. По этой системѣ 0,000054 пишется такъ:

VI

54.

Для умноженія дается такое правило: поставь надъ послѣднимъ справа разрядомъ отвѣта такой значекъ, который равнялся бы суммѣ значковъ множимаго и множителя, стоящихъ надъ ни ми съ праваго края; всѣ остальные разряды произведенія опредѣлятся по этому крайнему разряду. Примѣръ:

VI

124 385

умножить на

IV

643

; умноживъ 124385 на 643, получимъ въ отвѣтѣ 79979555. и остается только поставить надъ послѣдней цифрой справа значекъ X, потому что VІ+IV = Х. Результатъ можно прочитать такъ: 79979555 десятаго порядка (десятыхъ скрупуловъ, по выраженік Бейера). Для дѣленія дается такое правило: сдѣлай такъ, чтобы в дѣлимомъ было столько же знаковъ, сколько и въ дѣлителѣ, или даже больше; если въ дѣлимомъ мало знаковъ, то припиши столько нулей, сколько тебѣ нужно, и это не измѣнитъ величины дроби. Потомъ произведи дѣленіе, какъ будто бы это были цѣлыя числа, и у послѣдняго разряда отвѣта поставь справа такой значекъ, который бы равнялся разности значковъ дѣлимаго и дѣлителя. Если при дѣленіи получится остатокъ, и если надо частное найти точнѣе, то можно приписывать къ дѣлимому нуль за нулемъ, сколько угодно разъ, и въ результатѣ получатся разряды, которыхъ номеръ постепенно понижается на единицу. Въ концѣ своей брошюры Бейеръ говоритъ подробно о томъ, какъ изъ десятичныхъ дробей можно получить шестидесятеричныя, и наоборотъ; также о томъ, какъ примѣнять десятичныя дроби къ рѣшенію задачъ.

Скоро и англійскій авторъ I. Неппиръ (Nepper) спѣшитъ подѣлиться съ своими читателями свѣдѣніями о новыхъ дробяхъ. Въ его книжкѣ (1626 г.) дробь пишется такъ: 28°6’7’’5’’’ и читается такъ: 28 цѣлыхъ 6 примъ 7 секундъ 5 терцій. Кромѣ того, разряды иногда у него раздѣляются точками; 27°:0’:5’’ и т. п. Сложеніе и вычитаніе идетъ у него обыкновеннымъ порядкомъ, такъ же, какъ и у насъ; вотъ примѣръ сложенія;

При умноженіи не считается необходимымъ, чтобы цифры одинаковыхъ разрядовъ стояли другъ подъ другомъ; надо умножать такъ. какъ будто бы это были все цѣлыя числа, и потомъ слѣдуетъ отсчитать съ правой стороны столько разрядовъ, сколько ихъ вмѣстѣ въ обоихъ производителяхъ; это будутъ скрупулы — десятичныя доли. Примѣры:

Въ первомъ примѣрѣ множимое раздроблено въ десятыя доли, множитель въ сотыя, произведеніе поэтому содержитъ 2671 цѣлую единицу, 6 десятыхъ, 9 сотыхъ и 5 тысячныхъ. Во второмъ примѣрѣ мы видимъ запятую между цѣлыми и десятыми. Введеніе ея приписывается извѣстному астроному Кеплеру (1571—1630).

Правило дѣленія слѣдующее: дѣлить надо, какъ цѣлыя числа, и кромѣ того надо вычесть изъ значка дѣлимаго значекъ дѣлителя, тогда остатокъ опредѣлитъ собой значекъ частнаго. Примѣръ: раздѣлить 5' 7" на 8° 6' 5" 6'". Рѣшеніе:

Въ ариѳметикѣ Беклера (1661) десятичныя дроби примѣняются только къ мѣрамъ длины, поверхности и объема; поэтому имъ дается названіе геометрическихъ долей. Цѣлыя отдѣляются отъ долей запятой или черточкой; кромѣ того, употребляются еще отмѣтки: для сажени 0, для фута 1, для дюйма 2 и для линіи 3; у послѣдней доли ставится значекъ, который опредѣляетъ ея разрядъ, и отдѣляется этотъ значекъ скобкой. Примѣръ: 123,6543 (4; это значитъ 123 сажени, 6 футовъ, 5 дюймовъ, 4 линіи и 3 точки. Какъ видно, Беклеръ проэктируетъ ввести десятичную зависимость между мѣрами, т. е. считать въ сажени 10 футовъ, въ футѣ 10 дюймовъ и т. д. Сочиненіе англичанина Вингата (1668) еще болѣе приблизило теорію десятичныхъ дробей къ тому виду, какой она имѣетъ сейчасъ. Онъ примѣняетъ дроби къ тригонометріи, къ вычисленію сложныхъ процентовъ и къ дѣйствіямъ съ именованными числами. Онъ хорошо видитъ всю громадную пользу, которая получилась бы для науки, если бы всѣ мѣры были приведены къ десятичной системѣ, иначе сказать всякая мѣра содержала бы въ себѣ ровно 10 слѣдующихъ низшихъ. Разряды десятичныхъ дробей идутъ, по мнѣнію Вингата, такъ же безпредѣльно, какъ и разряды цѣлыхъ чиселъ, такъ что за десятыми долями, сотыми, тысячными идутъ десятитысячныя, стотысячныя, милліонныя и т. д. до безконечности. Знаменателя десятичной дроби вполнѣ возможно не писать, если только условиться отдѣлять цѣлое число отъ десятыхъ долей точкой или запятой. Вингатъ пишетъ по нашему 285,82 или 285.82, но у него вмѣсто 0,5 встрѣчается .5 и вмѣсто 0,25 пишется .25, слѣд., цѣлыхъ онъ въ этомъ случаѣ не пишетъ. Три первыхъ дѣйствія онъ проходитъ совершенно аналогично съ нами, а для дѣленія у него взятъ такой порядокъ: къ дѣлимому можно приписать сколько угодно нулей и по-томъ произвести дѣйствіе такъ, какъ если бы это были цѣлыя числа; чтобы опредѣлить значеніе первой цифры частнаго, по которой уже можно разсчитать и всѣ остальные разряды, стоитъ только подписать дѣлителя подъ тѣми же разрядами дѣлимаго, которые были отчеркнуты для перваго дѣленія; подъ какимъ разрядомъ дѣлимаго находятся единицы дѣлителя, таковъ и будетъ высшій разрядъ частнаго. Примѣръ: 2,34 : 52,125. Дѣлимъ 23400000 на 52125 и получаемъ 448. Теперь подписываемъ 52,125 подъ 2,34 такъ, чтобы дѣлитель стоялъ подъ тѣмъ числомъ, которое на него дѣлилось въ первый разъ, именно