Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика Страница 19

Оказывается, что четыре компоненты «скорости», которые нам нужно выписать, превратятся в компоненты четырехвектора, если мы попросту поделим их на Ц(1-v2). В правильности этого можно убедиться, взяв

четырехвектор импульса

(25.3)

и поделив его на массу покоя, которая в четырехмерном прост­ранстве является скаляром. Мы получим при этом

(25.4)

что по-прежнему должно быть четырехвектором. (Деление на скаляр не изменяет трансформационных свойств.) Так что четырехвектор скорости vmможно определить так:

(25.5)

Это очень полезная величина; мы можем теперь написать, например,

(25.6)

Таков типичный вид, который должен иметь правильное реляти­вистское уравнение: каждая сторона его должна быть четырехвектором. (В правой части стоит произведение инварианта на четырехвектор, которое по-прежнему есть четырехвектор.)

§ 2. Скалярное произведение

То, что расстояние от некоторой точки до начала координат не изменяется при повороте, если хотите,— счастливая случай­ность. Математически это означает, что r2=x2+y2+z2 является инвариантом. Другими словами, после поворота r'2=r2 или

Возникает вопрос: существует ли подобная величина, которая инвариантна при преобразованиях Лоренца? Да, существует. Из (25.1) вы видите, что

Она была бы всем хороша, если бы только не зависела от наше­го выбора оси х. Но этот недостаток легко исправить вычита­нием y/2 и z2. Тогда преобразование Лоренца плюс вращение оставляют ее неизменной. Таким образом, роль величины, ана­логичной трехмерному r2 в четырехмерном пространстве, играет комбинация

Она является инвариантом так называемой «полной группы Лоренца», которая включает как перемещения с постоянной скоростью, так и повороты.

Далее, поскольку эта инвариантность представляет собой алгебраическое свойство, зависящее только от правил преобра­зования (25.1) плюс вращение, то она справедлива для любого четырехвектора. (Все они, по определению, преобразуются оди­наковым образом.) Так что для любого четырехвектора аm

Эту величину мы будем называть квадратом «длины» четырехвектора ам. (Будьте внимательны! Иногда берут обратные зна­ки у всех слагаемых и квадратом длины называют число a2x+a2y+a2z -a2t)

Если теперь у нас есть два вектора аm и bm, то их одноименные компоненты преобразуются одинаково, поэтому комбинация

также будет инвариантной (скалярной) величиной. (Фактически мы доказали это уже в гл. 17, вып. 2.) Получилась величина, совершенно аналогичная скалярному произведению векторов. Мы так и будем называть ее скалярным произведением двух четырехвекторов. Логично, казалось бы, и записывать его аm·bm, чтобы оно даже выглядело похожим на скалярное произведение. Но обычно, к сожалению, так не делают и пишут его без точки.

И мы тоже будем придерживаться этого порядка и записывать скалярное произведение просто ambm. Итак, по определению,

(25.7)

Помните, что повсюду, где вы видите два одинаковых значка (вместо m мы иногда будем пользоваться v или другими бук­вами), необходимо взять четыре произведения и сложить их, не забывая при этом о знаке минус перед произведениями про­странственных компонент. С учетом такого соглашения инва­риантность скалярного произведения при преобразованиях Ло­ренца можно записать как

Поскольку последние три слагаемых в формуле (25.7) пред­ставляют просто трехмерное скалярное произведение, то часто удобнее принять такую запись:

Очевидно, что введенную выше четырехмерную длину можно записать как аmаm:

(25.8)

Но иногда удобно эту величину записать как а2m:

Продемонстрируем теперь плодотворность четырехмерного скалярного произведения. Антипротоны (р') получают на боль­ших ускорителях из реакции

Иначе говоря, высокоэнергетический протон сталкивается с по­коящимся протоном (например, с помещенной в пучок водород­ной мишенью), и если падающий протон обладает достаточной энергией, то вдобавок к двум первоначальным протонам может родиться пара протон—антипротон.

Какой энергией должен обладать падающий протон, чтобы эта реакция стала энергетически возможной?

Ответ легче всего получить, рассмотрев эту реакцию в систе­ме центра масс (ц. м.) (фиг. 25.1). Назовем падающий протон протоном а, а его четырехимпульс обозначим через рam. Анало­гично, протон мишени назовем b, а его четырехимпульс обозна­чим через рbm. Если энергии падающего протона как раз достаточ­но для реакции, то в конечном состоянии (т. е. в состоянии после соударения) образуется система, содержащая три протона и ан­типротон, покоящиеся в системе ц. м. Если энергия падающего протона будет несколько выше, то частицы в конечном состоя­нии вылетят с некоторой кинетической энергией и будут разле­таться в стороны; если же она немного ниже, то ее будет недо­статочно для образования четырех частиц.

Пусть рсm — полный четырехимпульс всей системы в конеч­ном состоянии, тогда, согласно закону сохранения энергии и

а комбинируя эти два выражения, можно написать

(25.9)

Теперь еще одно важное обстоятельство: поскольку мы по­лучили уравнение для четырехвекторов, то оно должно выпол­няться в любой инерциальной системе. Этим фактом можно вос­пользоваться для упрощения вычислений. Напишем длины каждой из частей (25.9), которые, разумеется, тоже должны быть равны друг другу, т. е.

(25.10)

Так как рсm рсm — инвариант, то можно вычислить его в ка­кой-то одной системе координат. В системе ц. м. временная компонента рсm равна энергии покоя четырех протонов, т. е. 4М, а пространственная часть р равна нулю, так что рсm=(4М, 0). При этом мы воспользовались равенством масс протона и антипротона, обозначив их одной буквой М.

Таким образом, уравнение (25.10) принимает вид

(25.11)

Произведения раmраm и pbmpbm, вычисляются очень быстро: «дли­на» четырехвектора импульса любой частицы равна просто квадрату ее массы:

Это можно доказать прямыми вычислениями или, несколько бо­лее эффектно, простым замечанием, что в системе покоя ча­стицы рm=(М, 0), а следовательно, рmрm=М2. А так как это инвариант, то он равен М2 в любой системе отсчета. Подставляя результаты в уравнение (25.11), мы получаем

или

(25.12)

Теперь можно вычислить раmрbmв лабораторной системе. В этой системе четырехвектор рам= (Еа, ра), а рbm=(М, 0), ибо он описывает покоящийся протон. Итак, раmрbmдолжно быть рав­но МЕа, а мы знаем, что скалярное произведение — это инвари­ант, поэтому оно должно быть равно значению, найденному нами в (25.12). В результате получается

Полная энергия падающего протона должна быть по мень­шей мере равна 1М (что составляет около 6,6 Гэв, так как М=938 Мэв) или после вычитания массы покоя М получаем, что кинетическая энергия должна быть равна по меньшей мере 6 М (около 5,6 Гэв). Именно с тем, чтобы иметь возможность производить антипротоны, бетатрон в Беркли проектировался на кинетическую энергию ускоренных протонов около 6.2 Гэв.