Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика Страница 32

Остается загадка, откуда возникает этот момент количества движения? Ответ на этот вопрос такой: если у вас есть магнитное поле и какие-то заряды, то поле имеет и момент количества движения. Он возник еще при создании самого поля. Когда же поле выключается, момент количества движения отдается обратно. Так что диск в этом парадоксе начнет крутиться. Таинственный циркулирующий поток энергии, который сна­чала кажется чем-то непонятным, на самом деле абсолютно необходим. Ведь существует реальный поток импульса. Он необходим для выполнения закона сохранения момента коли­чества движения в целом.

Глава 28

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ МАССА

§ 1. Энергия поля точечного заряда

§ 2. Импульс поля движущегося заряда

§ 3. Электромагнитная масса

§ 4. С какой силой электрон действует сам на себя?

§ 5. Попытки изме­нения теории Максвелла

§ 6. Поле ядерных сил

§ 1. Энергия поля точечного заряда

Синтез теории относительности и уравне­ний Максвелла в основном завершает наше изу­чение теории электромагнетизма. Разумеется, по дороге мы перескочили через некоторые дета­ли и оставили незатронутой довольно большую область, к которой, однако, мы еще вернемся в будущем, когда займемся взаимодействием электромагнитного поля с веществом. И все же, если еще задержаться на минуту и посмотреть на фасад этого удивительного сооружения,

имевшего столь громадный успех в объяснении столь многих явлений, то можно обнаружить, что оно вот-вот завалится и рассыплется на куски.

·- Если вы поглубже вгрызетесь почти в любую из наших физических теорий, то обнаружите, что в конце концов попадаете в какую-нибудь неприятную историю. Сейчас нам предстоит обсудить серьезную трудность — несостоятель­ность классической электромагнитной теории. Может показаться, что это нарушение, естествен­но, связано с падением всей классической теории под ударами квантовомеханических эффектов. Возьмите классическую механику. Математи­чески это вполне самосогласованная теория, хотя она и отвергается опытом. Однако самое интересное, что классическая теория электро­магнетизма неудовлетворительна сама по себе. В ней до сих пор есть трудности, которые связаны с самими идеями теории Максвелла и которые не имеют непосредственного отношения к кван­товой механике. Вы можете подумать: «А зачем нам заранее беспокоиться об этих трудностях. Ведь квантовая механика все равно изменит законы электродинамики. Не лучше ли подо­ждать и посмотреть, во что превратятся эти трудности после изменений?» Однако трудности остаются и после соединения электродинамики с квантовой механикой, так что рассмотрение их сейчас не будет напрасной тратой вре­мени; вдобавок они очень важны с исторической точки зрения. Кроме того, если вы в силах столь глубоко проникнуть в теорию, чтобы увидеть в ней все, не исключая и трудностей, то это дает вам известное чувство завершенности.

Трудность, о которой я собираюсь говорить, связана с при­ложением понятий электромагнитного импульса и энергии к электрону или другой заряженной частице. Понятия простых заряженных частиц и электромагнитного поля как-то не согла­суются друг с другом. Описание этой трудности мы начнем с не­которых примеров вычисления энергии и импульса. Найдем сначала энергию заряженной частицы. Представьте, что мы взяли простейшую модель электрона, когда весь его заряд q равномерно распределен по поверхности сферы радиусом а. В специальном случае точечного заряда мы можем положить его равным нулю. Теперь вычислим энергию электромагнитного поля. Если заряд неподвижен, то никакого магнитного поля вокруг нет, и энергия в единице объема будет пропорциональна квадрату напряженности электрического поля. Величина же напряженности электрического поля равна q/4pe0r2, поэтому плотность энергии

Чтобы получить полную энергию, нужно эту плотность проинтегрировать по всему пространству. Используя элемент объема 4pr2/dr, найдем полную энергию, которую мы обозначим через Uэл:

Это выражение интегрируется очень просто. Нижний предел интегрирования равен а, а верхний — бесконечности, поэтому

(28.1)

Если вместо q подставить заряд электрона qeи обозначить сим­волом e2комбинацию qe2/4pe0, то получим

(28.2)

Все идет хорошо до тех пор, пока мы не переходим к точечному заряду, т. е. пока мы не положим а = 0. Но как только мы пере­ходим к точечному заряду, начинаются все наши беды. И все потому, что энергия поля изменяется обратно пропорционально четвертой степени расстояния, интеграл по объему становится расходящимся, а количество энергии, окружающей точечный заряд, оказывается бесконечным.

Но чем, собственно, плоха бесконечная энергия? Есть ли какая-то реальная трудность в том, что энергия никуда не может уйти от заряда и обречена навсегда оставаться около него? Досадно, конечно, что величина оказалась бесконечной, но главный вопрос в том — есть ли здесь какой-нибудь наблюдаемый физический эффект? Чтобы ответить на него, нужно обратиться не к энергии, а к чему-то другому. Нас может, ска­жем, заинтересовать, как изменяется энергия, когда заряд движется. Если при этом окажется бесконечным изменение, то дело совсем плохо.

§ 2. Импульс поля движущегося заряда

Возьмем равномерно движущийся электрон и предположим на минуту, что скорость его мала по сравнению со скоростью света. С таким движущимся электроном всегда связан какой-то импульс — даже если у электрона до того, как он был заряжен, не было никакой массы — это импульс электромагнитного поля. Мы покажем, что для малых скоростей он пропорционален скорости v и совпадает с ней по направлению. В точке Р, нахо­дящейся на расстоянии r от центра заряда и под углом 6 к ли­нии его движения (фиг. 28.1), электрическое поле радиально, а магнитное, как мы видели, равно vXE/c2. Плотность же им­пульса, в соответствии с формулой (27.21), будет

Она обязательно направлена по линии движения, как это видно из рисунка, и по величине равна

Поле симметрично относительно линии движения заряда, по­этому поперечные компоненты дадут в сумме нуль, и полученный в результате импульс будет параллелен скорости v.

Фиг. 28.1. Поля Е и В и плотность импульса g для положительного электрона.

Для отрицательного электрона поля Е и В повернуты в обратную сторону, но g остается тем же.

Фиг. 28.2. Элемент объема 2pr2sinqdqdr, используе­мый при вычислении импульса поля.

Величину составляющей вектора g в этом направлении, равную gsinq, нужно проинтегрировать по всему пространству. В качестве элемента объема возьмем кольцо, плоскость которого перпен­дикулярна v (фиг. 23.2). Объем его равен 2pr2sinqdqdr. Пол­ный импульс будет при этом

Поскольку Е не зависит от угла q (для v<<c), то по углу можно немедленно проинтегрировать:

Интегрирование по q ведется в пределах от 0 до p, так что этот интеграл дает просто множитель 4/3, т. е.

А такой интеграл (для v<<с) мы только что вычисляли, чтобы найти энергию; он равен q2/16p2e02a, так что

или

(28.3)

Импульс поля, т. е. электромагнитный импульс, оказался пропорциональным v. В частности, тоже самое выражение полу­чилось бы для частицы с массой, равной коэффициенту пропор­циональности при v. Вот почему этот коэффициент пропорциональности мы можем назвать электромагнитной массой mэм, т. е. положить

§ 3. Электромагнитная масса

Откуда же вообще возникло понятие массы? В наших зако­нах механики мы предполагали, что любому предмету присуще некое свойство, называемое массой. Оно означает пропорцио­нальность импульса предмета его скорости. Теперь же мы обнаружили, что это свойство вполне понятно — заряженная частица несет импульс, который пропорционален ее скорости. Дело можно представить так, как будто масса — это просто электродинамический эффект. Ведь до сих пор причина возник­новения массы оставалась нераскрытой. И вот, наконец, в элект­родинамике нам представилась прекрасная возможность понять то, чего мы никогда не понимали раньше. Прямо как с неба (а точнее, от Максвелла и Пойнтинга) свалилось на нас объяс­нение пропорциональности импульса любой заряженной ча­стицы ее скорости через электромагнитные свойства.