Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика Страница 6

(22.28)

Смотря по тому, какова частота w, наблюдаются два интерес­ных случая. Если w2 меньше 4/LC, то второе слагаемое под кор­нем меньше первого, и импеданс z0 станет действительным чис­лом. Если же w2 больше 4/LС, то импеданс z0 станет чисто мни­мым числом и его можно записать в виде

Раньше мы сказали, что цепь, составленная из одних только мнимых импедансов, таких, как индуктивности и емкости, будет иметь чисто мнимый импеданс. Но как же тогда выходит, что в той цепи, которую мы сейчас рассматриваем (а в ней есть толь­ко одни L и С), импеданс при частотах ниже Ц4/LC представля­ет собой чистое сопротивление?

Фиг. 22.20. Лестница L—C, изображенная двумя экви­валентными способами.

Для высоких частот импеданс чисто мнимый, в полном согласии с нашим прежним утвержде­нием. Для низких же частот импеданс — чистое сопротивление и поэтому поглощает энергию. Но как может цепь, подобно со­противлению, непрерывно поглощать энергию, если она состав­лена только из индуктивностей и емкостей? Ответ состоит в том, что этих емкостей и самоиндукций бесконечное множество, и получается, что, когда источник соединен с цепью, он обязан сперва снабдить энергией первую индуктивность и емкость, за­тем вторую, третью и т. д. В цепях подобного рода энергия непрерывно и с постоянной скоростью отсасывается из генера­тора и безостановочно течет в цепь. Энергия запасается в индуктивностях и емкостях вдоль цепи.

Эта идея подсказывает интересную мысль 0 том, что факти­чески происходит внутри цепи. Следует ожидать, что если к переднему концу цепи подключить источник, то действие этого источника начнет распространяться вдоль по цепи к бесконечно­му концу. Распространение волн вдоль линии очень похоже на излучение от антенны, которая отбирает энергию от питающего ее источника; точнее, можно ожидать, что такое распростране­ние происходит, когда импеданс действителен, т. е. когда co меньше Ц4/LC. Но когда импеданс чисто мнимый, т. е. при co, больших Ц4/LC, то такого распространения ожидать не следует.

§ 7. Фильтры

В предыдущем параграфе мы видели, что бесконечная лест­ничная сеть (см. фиг. 22.20) непрерывно поглощает энергию, если эта энергия подводится с частотой, которая ниже некоторого критического значения Ц4/LC, называемого граничной часто­той w0. У нас возникла мысль, что этот эффект можно понять, основываясь на представлении о непрерывном переносе энергии вдоль линии. С другой стороны, на высоких частотах (при w >w0) непрерывного поглощения энергии не бывает; тогда следует ожидать, что токи, видимо, не смогут «проникнуть» далеко вдоль линии. Поглядим, верны ли эти представления.

Пусть передний конец лестницы соединен с каким-то гене­ратором переменного тока, и нас интересует, как выглядит напряжение, скажем, в 754-м звене лестницы. Поскольку сеть бесконечна, при переходе от одного звена к другому происходит всегда одно и то же; так что можно просто посмотреть, что слу­чается, когда мы переходим от n-го звена к (n+1)-му. Токи In и напряжения Vn мы определим так, как показано на фиг. 22.21,а.

Фиг. 22.21. Нахождение фактора распространения лестницы.

Напряжение Vn+1можно получить из Vn, если вспомнить, что остаток лестницы (за n-м звеном) всегда можно заменить ее характеристическим импедансом z0; и тогда достаточно проана­лизировать только схему фиг. 22.21, б. Мы прежде всего заме­чаем, что каждое Vn, поскольку это напряжение на зажимах сопротивлеиия z0, должно быть равно Inz0. Кроме того, разность между Vnи Vn+lравна просто Inz1:

Получается отношение

которое можно назвать фактором распространения для одного звена лестницы; обозначим его a. Для всех звеньев

(22.29)

и напряжение за n-м звеном равно

Теперь ничего не стоит найти напряжение за 754-м звеном; оно просто равно произведению e на 754-ю степень a.

Как выглядит a для лестницы L—С на фиг. 22.20, а? Взяв z0 из уравнения (22.27) и г1 =iwL, получим

Если частота на входе ниже граничной частоты w0=Ц4/LС, то корень — число действительное, и модули комплексных чисел в числителе и знаменателе одинаковы. Поэтому значение a по модулю равно единице; можно написать

а это означает, что величина (модуль) напряжения в каждом звене одна и та же; меняется только фаза. Она меняется на число d; оно на самом деле отрицательно и представляет собой «задерж­ку» напряжения по мере того, как последнее проходит по сети. А для частот выше граничной частоты w0 лучше вынести в числителе и знаменателе (22.31) множитель i и переписать его в

(22.32)

Теперь фактор распространения a — число действительное, притом меньшее единицы. Это означает, что напряжение в неко­тором звене всегда меньше напряжения в предыдущем звене; множитель пропорциональности равен а. При частотах выше w0 напряжение быстро спадает по мере движения вдоль сети. Кри­вая модуля a как функции частоты похожа на график, приведен­ный на фиг. 22.22.

Мы видим, что поведение а как выше, так и ниже w0 согласу­ется с нашим представлением о том, что сеть передает энергию при w<w0 и задерживает ее при w>w0. Говорят, что сеть «про­пускает» низкие частоты и «отбрасывает», или «отфильтровыва­ет», высокие. Всякая сеть, устроенная так, чтобы ее характе­ристики менялись указанным образом, называется «фильтром». Мы проанализировали «фильтр низкого пропускания», или «низ­ких частот».

Вас может удивить — к чему все это обсуждение бесконечных сетей, если на самом деле они невозможны? Но вся хитрость в том и заключается, что те же характеристики вы обнаружите и в конечной сети, если заключите ее импедансом, совпадающим с характеристическим импедансом z0. Практически, конечно, не­возможно точно воспроизвести характеристический импеданс несколькими простыми элементами, такими, как R, L и С. Но в некоторой полосе частот нередко этого можно добиться в хоро­шем приближении. Этим способом можно сделать конечную фильтрующую сеть со свойствами, очень близкими к тем, кото­рые проявляются в бесконечном фильтре. Скажем, лестница L—С будет во многом вести себя так, как было описано, если на конце ее помещено чистое сопротивление R=ЦL/C.

А если в нашей лестнице L—С мы поменяем местами L и С, чтобы получилась лестница, показанная на фиг. 22.23,а, то получится фильтр, который пропускает высокие частоты и отбрасывает низкие.

Фиг. 22.22. Фактор распростра­нения одного звена лестницы.

Фиг. 22.23. Высокочастотный фильтр (а) и его фактор распро­странения как функция 1/w (б).

Пользуясь уже полученными результатами, легко понять, что происходит в этой сети. Вы уже, наверно, за­метили, что всегда, когда L заменяется на С и наоборот, то и in заменяется на 1/iw и наоборот. Значит, все, что происходило раньше с w, теперь будет происходить с 1/w. В частности, можно узнать, как меняется а с частотой, взяв фиг. 22.22 и повсюду вместо со написав 1/w (фиг. 22.23,6).

У описанных фильтров высоких и низких частот есть много­численные технические приложения. Фильтр L—С низких частот часто используется как «сглаживающий» фильтр в цепях по­стоянного тока. Если нам нужно получить постоянный ток от источника переменного тока, мы включаем выпрямитель, который позволяет течь току только в одну сторону. Из выпрямителя выходит пульсирующий ток, график которого выглядит как функция V(t), показанная на фиг. 22.24 Постоянство такого тока — никудышное: он шатается вверх и вниз, а нам нужен по­стоянный ток, чистенький, гладенький, как от батареи аккумуляторов. Этого можно добиться, включив фильтр низких частот между выпрямителем и нагрузкой.

Из гл. 50 (вып. 4) мы уже знаем, что временная функция на фиг. 22.24 может быть представлена в виде наложения постоянного напряжения на синусную волну плюс синусную волну большей частоты плюс еще более высокочастотную синусоиду и т. д., т. е. как ряд Фурье.