Мартин Гарднер - Есть идея! Страница 16

Например, чтобы распилить на единичные кубики прямоугольный параллелепипед 3×4×5, необходимо провести 7 плоских разрезов: 2 для ребра 3, 2 для ребра 4 и 3 для ребра 5. Доказательство этого алгоритма было впервые опубликовано в журнале Mathematics Magazine в 1952 г.

Решение задачи 2. Задача решается просто, если сообразить, что на еще одной грани куба можно провести третью диагональ, соединяющую концы диагоналей, проведенных мисс Евклид (рис. 16).

Три диагонали образуют равносторонний треугольник. Так как каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°, то и угол между проведенными мисс Евклид диагоналями равен 60°.

Вторая задача мисс Евклид допускает изящное обобщение. Предположим, что мисс Евклид провела на поверхности куба две прямые, соединяющие середины A, B и C трех ребер (рис. 17). Чему равен угол ABC между этими прямыми?

Решение задачи находим по аналогии с предыдущим решением. Прежде всего соединим отрезками прямых середины ребер на четырех остальных гранях так, чтобы все шесть отрезков образовали замкнутую ломаную. Ясно, что все шесть отрезков имеют одинаковую длину и углы между любыми двумя смежными отрезками также одинаковы. Следовательно, если бы нам удалось доказать, что все шесть вершин ломаной лежат в одной плоскости, то мы могли бы утверждать, что наша шестизвенная замкнутая ломаная имеет форму правильного шестиугольника. Доказать нужное нам утверждение нетрудно, но в его справедливости вы можете убедиться экспериментально, распилив деревянный куб на две половинки вдоль плоскости, проходящей через середины шести ребер.

То, что поперечное сечение, делящее куб на две половины, может иметь форму правильного шестиугольника, неожиданно и в какой-то мере противоречит интуиции. Ну, а коль скоро мы знаем, что две проведенные мисс Евклид линии являются двумя смежными сторонами правильного шестиугольника, то найти угол между ними не составляет никакого труда: он равен 120°.

Рис. 17 наводит на мысль о еще одной интересной задаче. Предположим, что муха хочет проползти по поверхности куба из точки A в точку C. Можно ли считать путь, образованный отрезками AB и BC, кратчайшим?

Эту задачу легко и просто решит тот, кто догадается, что кратчайший путь из точки A в точку B на поверхности куба можно найти, если две смежные грани куба развернуть так, чтобы их плоскости совпали: кратчайшим будет отрезок прямой, соединяющий на развертке точки A и C. Развернуть две смежные грани куба так, чтобы плоскости их совпали, можно двумя способами, выбрав либо переднюю и верхнюю грань, либо переднюю и правую грань, поэтому при решении задачи необходимо соблюдать осторожность. В первом случае мы получаем путь длиной √2, во втором — путь длиной √2,5.Следовательно, на рис. 17 изображен кратчайший путь на поверхности куба из A в C.

Решение задачи 3. Разумеется, длину диагонали куба можно определить, измерив линейкой длину ребра и дважды применив теорему Пифагора. Но диагональ куба можно измерить линейкой гораздо более простым способом. Поставив куб на край стола, отмерим отрезок, равный по длине ребру куба, и концы отрезка пометим, после чего сдвинем куб на длину ребра вдоль края стола (рис. 18). Расстояние от A до B в точности равно диагонали куба, и его можно измерить линейкой.

Как вы стали бы измерять радиус большого шара, если бы у вас под рукой была только линейка, длина которой составляет ⅔ от диаметра шара? Один из простых способов состоит в том, чтобы запачкать шар сажей или губной помадой и прижать его к стене так, чтобы на стене в точке касания осталась отметка. Измерив линейкой расстояние от пола до отметки, вы определите радиус шара. Можете ли вы предложить аналогичные методы, позволяющие при помощи какого-нибудь ухищрения измерить высоту конуса или пирамиды? Можете ли вы точно измерить радиус цилиндрической трубы, если под рукой у вас имеется только плотницкий угольник?

По ковровой дорожке

Ковровое покрытие для кольцевого коридора в здании нового аэропорта было поручено изготовить компании, возглавляемой мистером Тэком.

Увидев план коридора, мистер Тэк решил, что над ним подшутила, я разгневался: единственным размером, указанным на чертеже, была длина хорды, касательной к внутренней стене коридора.

Мистер Тэк. Уберите чертеж, чтобы я его больше не видел! Как, скажите на милость, я смогу представить смету на ковровое покрытие, если мне не известна площадь коридора? Посоветуюсь-ка я с моим дизайнером мистером Шарпом.

Мистер Шарп, искусный геометр, выслушал мистера Тэка спокойно.

Мистер Шарп. Длина этой хорды, мистер Тэк, — единственный размер, который мне нужен. Я подставлю его в известную мне формулу и узнаю площадь коридора.

Мистер Тэк с минуту удивленно смотрел на мистера Шарпа, а потом улыбнулся.

Мистер Тэк. Благодарю вас, мистер Шарп, я могу назвать вам площадь коридора и без этого.

Знаете ли вы, как мистер Тэк сумел определить площадь кольцевого коридора?

Мистер Тэк рассуждал следующим образом. Мистер Шарп пользуется заслуженной репутацией искусного и сведущего геометра, поэтому, если он говорит, что у него есть формула, позволяющая вычислять площадь кольца по длине хорды, касательной к внутренней окружности, то она у него действительно есть. Если длина хорды, касательной к внутренней окружности, будет оставаться равной 100 м, то, как бы ни изменялись радиусы внешней и внутренней окружностей, по формуле мистера Шарпа площадь кольца должна оставаться неизменной.

Далее мистер Тэк спросил себя, что произойдет, если радиус внутреннего кольца уменьшится до нуля — своего минимального значения. Кольцо в этом случае превратится в круг, а хорда длиной 100 м станет диаметром круга. Площадь круга равна π·50² кв. м ≈ 7854 км. м. Следовательно, если предположить, что формула мистера Шарпа существует, то площадь кольца также должна быть равна 7854 кв. м.

В общем случае кольцо имеет такую же площадь, как круг с диаметром, равным длине наибольшего отрезка прямой, который только умещается в кольце. Эту удивительную теорему нетрудно доказать, если воспользоваться формулой для площади круга.

Трехмерный аналог этой задачи звучит так: найти объем отрезка толстостенной цилиндрической трубы, если помимо его длины известна длина самого длинного отрезка, который только умещается на одном из торцов трубы (рис. 19). Этот отрезок соответствует касательной в двумерной задаче, и, зная его длину, мы без труда находим площадь поперечного сечения трубы. Умножив площадь сечения на длину отрезка трубы, найдем его объем.

Менее очевидным трехмерным аналогом задачи о площади кольца является следующая красивая задача. Через центр шара просверлено сквозное цилиндрическое отверстие. Длина канала 6 см. Чему равен объем оставшейся части сферы? И в этом случае кажется, что ответить на вопрос задачи, невозможно: слишком скудны сведения, которыми мы располагаем. Однако исходя из совершенно элементарных соображений, можно показать, что оставшаяся часть сферы имеет такой же объем, как сплошная сфера, диаметр которой равен длине просверленного канала.

Как и в предыдущем случае, ответ задачи мы получаем сразу же, как только предположим, что задача разрешима! Действительно, если решение задачи существует, то объем части сферы, оставшейся после просверливания сквозного отверстия, не должен зависеть от диаметра отверстия. Устремим поэтому диаметр отверстия к наименьшему значению — нулю. Отверстие при этом сжимается в прямую — диаметр сплошной сферы. Следовательно, объем оставшейся части сферы равен 4/3·π·3³ куб. см = 36π куб. см.

Торт для именинницы

Обед шел к концу. Мистер Джонс сидел за столом вместе с женой, десятилетним сыном и семилетней дочерью Сьюзен.

Был день рождения Сьюзен, и миссис Джонс испекла небольшой квадратный торт 20 см × 20 см и толщиной 5 см, обильно покрытый глазурью сверху и с четырех сторон.

Мистер Джонс. Замечательный торт! Всем хватит. Первый кусок торта я отрежу для Сьюзен. Ей сегодня исполнилось 7 лет, и я отступлю на 7 см от углов и проведу разрезы через центр.

Кусок получился причудливой формы, и Сьюзен, которой он достался, пожаловалась.

Сьюзен. Папа, ты отрезал мне маленький кусочек, меньше четверти! Даже если ты отрезал мне четверть торта, то глазури на ней маловато!