Ирина Берлянд - К проблеме педагогической психологии начального обучения в школе диалога культур Страница 7

Действительно, такой способ формирования понятия числа позволяет преодолеть некоторые трудности, связанные с традиционным способом обучения (в основе которого лежит эмпирическое обобщение). Вместе с тем этот способ вызывает два существенных возражения. Во — первых, при определении «кратного отношения величин» в связи с введением меры все — таки, хотя и неявно, используется представление детей о натуральном числе. Во — вторых, действительно ли для современного понимания числа натуральное число, например, — лишь частный случай изображения общего отношения величин? Или, иначе, действительно ли происхождение числа однозначно связано с действием измерения? Два этих вопроса, или затруднения, тесно связаны между собой.

Эти затруднения рассматривает С.Ю.Курганов. «Рассмотрим, например, число —3: —/о о о/. Ясно, что «—» — это знак. Но /о о о/, т. е. три кубика — метки — не просто знак, а три дискретные вещи, кубики, отдельности. Понятно, что натуральное число (именно конкретное натуральное, а не абстрактное число вообще) не есть прямой продукт решения задачи измерения — отмеривания величин. Дискретность, квантовость шага, тот факт, что ребенок, измеряя, не непрерывно ползет, а ходит, шагая — очень важна и культурна.» Остановлюсь на этом слове. Пока важно, что идея квантовости, шага, отдельности, единицы психологически предшествует понятию действительного числа как результата измерения и при всем стремлении вывести единицу и вообще натуральное число как частный случай действительного числа методом восхождения от абстрактного к конкретному, конкретное — единица — неявно используется как предшествующая абстрактному. Вот что пишет В.В.Давыдов, характеризуя традиционное формирование понятия числа, подвергаемое им критике: «Путем сравнения многих разнокачественных вещей ребенок выделяет в них нечто сходное, общее — им оказывается отделенность каждого предмета друг от друга, некоторая пространственная или временная их ограниченность. Это единичный предмет, — и в каждом предмете содержится такая внешне воспринимаемая единичность, отдельность. Если ее выделить и отделить от других свойств предмета (а именно это и происходит при постепенном переходе мысли учащихся от «реального мальчика» через «реальный гриб» к любой, но одной палочке), то мы получим единицу. Каждый отдельный предмет суть единица. Группа предметов — множество единиц… Так образуется абстракция количества.» Мне кажется, что речь здесь должна идти вовсе не о формальном обобщении, абстрагировании, как полагает В.В.Давыдов. Ведь «реальный мальчик» до всякого перехода к «реальной палочке» воспринимается как нечто отдельное, одно. «… идея единицы, — пишет С.Ю.Курганов, — не появляется из измерения, а измерением используется, в измерение втягивается, а возникает идея единицы в других ситуациях, ситуациях более теоретических, не завязанных непосредственно на акт предметного действия. Нам представляется, что, скажем, число 1 и 2 возникают из сходных источников. Они возникают, как конкретные понятия (не абстрактные, служащие лишь клеточкой, ступенькой для более сложных, развитых…), как понятия с самого начала теоретические и развитые (и не являющиеся способом осуществления практических действий), замкнутые на себя и внутренне проблемно — вопросительные (что есть единица?). Возникают, по — видимому, не в задачах измерения величин, а из умного всматривания в статичную (но чреватую движением) внутреннюю форму вещей или могущих быть изготовленными орудий типа рычаг, весы, струна.» Итак, оказывается, что способ понимания числа через единицу (и натуральное число вообще) не частность по отношению к пониманию числа как результата измерения. Такой способ понимания числа близок к античному пониманию вещи через ее внутреннюю форму, через ее отдельность, уникальность, с одной стороны; с другой стороны, он не случаен для ребенка 6–7 лет, т. к. тесно связан с установкой на сознание, о которой говорилось выше. для ребенка естественно выделять бытие некоторого предмета как отдельность, как сразу схватываемую конкретную форму, а не как выводимый из действия частный случай (причем в понимании дошкольника и младшего школьника не только качественно выделяются натуральные числа из остальных) «единица числее половины» «— сказала пятилетняя девочка), но и каждое натуральное число имеет свое качество, а не просто является «абстракцией количества». И это детское представление близко к античному способу понимания. Аристотель говорит о качестве «в отношении неподвижного, а именно математических предметов; так, числа имеют определенное качество, например, числа сложные и простираюшиеся не только в одном направлении, а также, подобие которых — плоскость и имеющие объем (сюда принадлежат числа, единожды и дважды помноженные сами на себя); и таково вообще то, что входит в сущность числа помимо количества, ибо сущность каждого числа — это то, что оно единожды, например: сущность шести — не то, что имеется в шести дважды или трижды, а то, что оно единожды, ибо шесть есть единожды шесть.»

В.В.Давыдов пишет (о традиционном способе формирования понятия числа, критикуемом им): «Способ выделения единицы — это абстрагирование и обобщение такого чувственно данного, внешнего свойства предмета, как его единичность, отделенность. В содержание понятия о единице и о множестве единиц входит лишь то, что вначале непосредственно наблюдалось. Даже отношения чисел могут быть созерцаемы при оперировании, например, числовыми фигурами. Отличие понятия от представления прежде всего состоит в оперировании числом без наглядных средств, в словесной системе… За таким истолкованием источников понятия, принятым в методике и психологии обучения арифметике, отчетливо просматривается односторонняя сенсуалистическая установка.» Тут можно возразить, во — первых, что, как было уже показано, при формировании числа «по Давыдову» не удается обойтись без предварительного, до измерения, выделения единицы совершенно иным способом через измерение — созерцанием отдельности (это происходит вне урока, вне обучения, но на уроке используется эта сформированная совершенно иным, чем восхождение, способом единица, она неявно эксплуатируется). И второе возражение: сенсуализм методистов и психологов, на котором основано традиционное преподавание арифметики, на мой взгляд, в превращенном виде фиксирует очень важную особенность сознания и мышления ребенка — младшего школьника — созерцательность и стремление понять каждый предмет не как частный случай чего — то иного, а как уникальный, через его внутреннюю форму (не по — гегелевски, а по — аристотелевски). «Сенсуализм» ребенка можно понять не только как пассивную связанность ощущениями, но как особый тип понимания, близкий глубоко развитой и культурной логике античности, не преодоленной в современной математике, и крайне важной для нее, наряду с другими.

Действительно, именно установка на строгое созерцание формы, а не на практическое действие (измерение) обязана античная математика теорией числа (в отличие от измерения, умения измерять величины при помощи чисел). Вот что пишут об этом современные математики: «Обладание подобной системой (системой нумерации вавилонян, дающей возможность получать любые сколь угодно хорошие приближения действительного числа — И.Б.) и вытекающая отсюда уверенность в числовых расчетах неизбежно приводили к «наивному» понятию действительного числа, почти совпадающему с тем, которое в наши дни можно встретить в элементарных учебниках математики… или у физиков и инженеров. Это понятие не поддается точному определению, но его можно выразить, сказав, что число можно выразить как определенное благодаря возможности получать его приближенные значения и вводить их в вычисления (т. е. как определенное через действие измерение и сравнение величин — И.Б.)… Подобная «прагматическая» точка зрения появляется во всех математических школах, где вычислительное искусство берет верх над заботами о строгости и теоретическими соображениями. В греческой математике, наоборот, господствуют именно эти последние. Ей мы обязаны созданием первой строгой и систематической теории отношений величин, т. е. по существу действительных чисел… Греческая математика с самого возникновения была неразрывно связана частично с научными, частично с философскими и мистическими теориями о пропорциях, подобиях и отношениях, и, в частности, о «простых отношениях» (выражаемых дробями с малыми числителями и знаменателями). Одна из характерных тенденций пифагорейской школы заключалась в том, что она стремилась объяснить все с помощью целых чисел и их отношений (т. е. рассматривала целые числа не как частный случай более общего понятия действительного числа, а как особенное, которое составляет логическую основу понимания всеобщего — И.Б.). Но как раз именно в пифагорейской школе была открыта несоизмеримость стороны квадрата с его диагональю (иррациональность 2); это, несомненно, первый пример доказательства невозможности в математике (из содержательного обобщения действия измерения никак нельзя выйти к проблеме возможности и обоснования невозможности — И.Б.). Уже тот факт, что подобная проблема была поставлена, свидетельствует о четком понимании различия между отношением и его приближенными значениями и достаточно убедительно говорит о том, какая пропасть отделяет греческих математиков от их предшественников.» С пониманием числа (натурального) как конкретной формы связана и теория фигурных чисел пифагорейцев. «Пифагорейцы изображали числа в виде точек, группируемых в геометрические фигуры. так возникло понятие «фигурных чисел», в котором нашла свое отражение тесная связь, существующая между понятиями числа и пространственной протяженностью.» «Идеальная форма вещей, т. е. их сущность в античном понимании, — пишет В.С.Библер, — определяет непосредственное тождество качественно — количественных определений; определяет количество, наглядно, качественно представляемое;» Это тождество качественно — количественных представлений связано с античной проблемой движения как проблемой прерывного и непрерывного, которая выражена, в частности, в апориях Зенона, актуальных и для современной теории.