Юрченко Борисович - Философия и логика времени Страница 22

Нам остается лишь признать тот факт, что в дискретной метрике световой конус в пространстве Минковского является лишь асимптотическим приближением к реальной картине. Фактически же этот конус должен быть единичным, равнобочным гиперболоидом. Его также называют циркулярным гиперболоидом, поскольку он получается вращением гиперболы вокруг той или иной оси. Гиперболоид допускает две формы: однолистную и двулистную.

Рис.11

Если в пространстве Минковского за ось вращения принимается стрела времени, то мы получаем 2-листный гиперболоид, поскольку именно он в этом случае является t-подобным. При этом его внешность есть 1-листный s-подобный гиперболоид, полученный вращением вокруг пространственной оси, ассоциированной с расслоением Вселенной по стратам W.

В релятивизме нас в первую очередь интересует именно 2-листный несвязный гиперболоид. Его называют еще квази-сферой (но не псевдосферой!), поскольку он обладает некоторыми общими свойствами с ней. В частности, его Гауссова кривизна оказывается положительной, как и у сферы, при том что кривизна «s-подобного» гиперболоида отрицательна. Более обще: в 4-мерном пространстве (w, x, y, z) две конические гиперповерхности, представленные тождественными квадратичными формами с разницей лишь в знаке, при пересечении их гиперплоскостью w = r, дают сферу и гиперболоид соответственно.

В литературе именно «s-подобный» гиперболоид принято связывать с моделями открытой параболической Вселенной, подчиняющейся геометрии Лобачевского с отрицательной кривизной. В данном представлении такой геометрией может обладать только нелокальный мир Маха и Бома, в котором все связано со всем. В релятивистской (причинной) Вселенной, берущей начало в Большом взрыве и динамически развивающейся внутри t-подобного гиперболоида, геометрия должна быть Римановой, т.е. асимптотически сферической. При этом классически прямая геометрия Евклида («коническая») оказывается сингулярной, т.е. вырожденной.

Унитарная квази-сфера бикватернионов обеспечивает представление группы Лоренца O(1, 3). Это связано с тем, что кватернионы, рассматриваемые как алгебра над множеством действительных чисел, образуют 4-мерное вещественное векторное пространство, позволяющее получить метрику Лоренца (2.1), которая имеет сингулярность в пределе (4.9). Условие нормировки мы выразили фильтрацией (4.10). Математически замечательным здесь оказывается то, что если ввести унитарную норму на факторизованном пространстве Минковского M/t, подобную норме в комплексной плоскости КМ, то произойдет неявным образом переход к дискретной метрике, при которой континуальные дифференциалы метрики Лоренца действительно станут физическими квантами, т.е. их олицетворением. Ведь базисные векторы уже есть по сути нормированные дифференциалы.

В аналитической геометрии квадратичное уравнение такого гиперболоида отличается от уравнения светового конуса лишь тем, что в нем появляется константная единица, аналогичная унитарной норме вектора состояния. Т.о. Лоренцев интервал (2.1), т.е. метрика с t-подобной сигнатурой в дискретной записи должна иметь вид:

(7.7)

Понятно, что в КМ эта неустранимая единица присутствует в виде постоянной Планка в принципе неопределенности. Она связана с квантом времени, выраженным через дискретный (и формально обратимый) оператор Н. Т.о. единица из (7.8) переходит в область действия волновой функции с преобразованием декартовых координат к полярным координатам для унитарной сферы. В СТО и ОТО она приобретает смысл лишь как нормировочная поправка на граничных условиях и связана с квантом времени, так что элемент геодезической не может быть меньше этой величины:

(7.8)

Здесь dt и ds есть физические кванты времени и пространства (Планковские единицы) в отличие от интервала dS и координаты dt в метрическом смысле. Физический и/или психофизический смысл этой единицы в метрике Лоренца (2.1) такой же, каким он должен быть для КМ: поправка заключается в том, что время вмешивается во все процессы, смещая их на квант времени и спасая нас тем самым от сингулярности. При этом формально можно вернуться от метрики гиперболоида к канонической метрике конуса (2.1):

(7.9)

Топологически это значит, что световой конус является замыканием светового гиперболоида, так что все световые точки конуса, включая точку события, являются точками прикосновения для релятивистского причинного (дискретного) мира. Гиперболоид содержит класс всех минимальных экстремалей для ненулевых геодезических. В этом смысле можно считать, что сам конус действительно является континуальным – и ровно поэтому сингулярным, а его мера Лебега тождественно равна нулю на любом интервале, . В дифференциальной геометрии гипербола и конус связаны понятием индикатрисы как касательной. Для нас гораздо важнее то, что гиперболоид является таким ограничением внутренности светового конуса, что он теперь есть ультрафильтр над множеством световых (сингулярных) точек метрики Лоренца.

Рис.12

При этом метрика принимается комплексной, а время как формальная сущность становится мнимым и симметричным, проходящим через «настоящее» мозга, так что две его стрелы проходят сквозь друг друга, а световой конус прошлого оказывается световым гиперболоидом сопряженной анти-Вселенной, между которыми стоит условие (7.9), выражающее принцип неопределенности в релятивизме. Для комплексной плоскости метрика принимает вид вектора состояния в КМ с унитарным модулем.

Для удобства обозначим световые конуса будущего и прошлого в пространстве Минковского М как и соответственно. 1-листный и 2-листный гиперболоиды выразим через и . Т.о. пространство М в метрике (2.1) состоит из двух световых конусов и s-подобной области S, а в метрике (7.8) разлагается в три области, поскольку не является односвязным.

(7.10)

Это значит, что , будучи связным, представляет собою для СТО и ОТО удаленное пространство за пределами скорости света и причинности. Но поскольку именно образует область действия нормированного векторного пространства вокруг световой точки, где волновая функция схлопывается и становятся возможными мгновенные квантовые корреляции, то и разделяют пространство М на области релятивизма и квантовой физики подобно неравенствам Белла. Иначе говоря, если мы хотим оставаться в причинном и дискретном согласно лемме 4 мире, нам не следует выходить за границы гиперболоида . Если же мы хотим работать с континуальным миром, нам придется либо получить сингулярность, либо довольствоваться квантовой неопределенностью. В общем и целом мозгу предоставлен гамлетовский выбор между бытием и небытием.

Эта ситуация напоминает сценарий мира на бране в суперструнной М-теории. В данном случае «браной» для нелокальных взаимодействий пары вселенных оказывается вакуум в треморе двух квантов времени. Речь неявным образом опять идет о вездесущем эфире с той или иной плотностью энергии. Такая модель, именно в поисках решения космологической проблемы, рассматривалась Линде в [26] путем введения совместного действия S для двух вселенных X и Y по релятивистским метрикам с противоположными по знаку лагранжианами для двух полей. При этом действие S должно обладать СРТ-симметрией для двух вселенных – симметрией антиподов (antipodal symmetry):

Если настоящее есть точка равновесия (equilibrium), то введенный для двух абсолютно идентичных миров и нормализатор N в этом случае должен быть равен единице, а суммарное действие тождественно равно нулю:

Разделение Вселенной на три части отражает и двусмысленное положение скорости света в нашем понимании, когда она для нас является конечной, а для себя и в каком-то смысле опять же для нас при нелокальных корреляциях оказывается бесконечной, как это отражено нами в (6.1). Тогда имеет место:

(1)  на мировых линиях конусов V,

(2)  в t-подобном не связном гиперболоиде ,

(3)  в s-подобном гиперболоиде .

В релятивистском мире все физические (причинные) скорости строго меньше световой в естественной для них трактовке. Говорить здесь о сверхсветовых скоростях физически бессмысленно. Именно световые конуса отделяют релятивистский мир от мира квантовых корреляций, где свет становится мгновенным. Но и здесь, при том что , говорить о сверхсветовых скоростях бессмысленно математически (если мы не готовы принять теорию трансфинитов из расширенной континуум-гипотезы). В каком-то условном смысле мы можем считать, что все сверхсветовые скорости – это отрицательные по нашей шкале времени скорости анти-Вселенной, при условии, что они отсчитываются от как от нуля.