Квант - Джим Аль-Халили Страница 14

Анатомия уравнения

Говоря о «решении» уравнения для классической частицы (а именно, той, что не подвержена квантовому поведению), мы имеем в виду, что применяем алгебру, для того чтобы найти значение точного положения и скорости этой частицы в определенный момент будущего. Но уравнение Шрёдингера отличается. Его решение, скажем, для движения электрона внутри атома представляет собой не просто набор чисел, описывающих, где электрон будет находиться в любой конкретный момент (который мы бы получили, решая ньютоновы уравнения, описывающие движение Луны вокруг Земли).

Решение уравнения Шрёдингера гораздо полнее. Это математическая величина, известная под названием «волновая функция» и обозначаемая греческой буквой Ψ (пси). Если вы ищете корни всей квантовой странности, то вы их только что нашли: все они содержатся в волновой функции.

В элементарной алгебре всегда существует неизвестная величина х. Представьте, что х – это положение частицы: «х обозначает место», где нужно копать. В более продвинутой алгебре значение х может зависеть от значения второй неизвестной, скажем t, которой обычно обозначается время. Таким образом, если, к примеру, t=1, то х может быть равен 4,5, а если t=2, то х=7,3 и так далее. Само собой, я просто назвал эти цифры наугад. Так мы решаем уравнение движения для классической частицы. Вот только, так как частица существует в трехмерном пространстве, нам необходимы три числа, чтобы определить ее положение: х, у и z. Суть в том, что х, у и z – это просто символы, которые заменяют определенные числа, это не настоящие «величины».

Волновая функция в уравнении Шрёдингера немного похожа на них. Она представляет собой неизвестную величину и может быть вычислена для любого момента времени, чтобы описать состояние квантовой частицы. Под «состоянием» здесь я подразумеваю все, что мы вообще можем знать о частице.

В физике мы всегда пользуемся математическими символами, чтобы описать некоторую величину или свойство системы, которую мы изучаем. Мы обозначаем величину напряжения буквой V, давление – буквой Р и так далее. Отличие квантовой механики заключается в том, что не существует прибора, который мог бы измерить квантовую функцию подобно тому, как мы измеряем давление и напряжение. Хотя концепция «давления» несколько абстрактна в том смысле, что это величина, которая описывает коллективное движение молекул газа, ее существование хотя бы можно ощутить физически. В отличие от существования волновой функции.

Уравнения движения Ньютона действительно так точны и надежны, что с их помощью можно на много лет вперед предсказать орбитальное движение планет и их лун. Эти уравнения использовались НАСА для расчета траекторий ракет, летящих на Луну и обратно. Во всех вышеприведенных примерах определение текущего состояния физической системы и воздействующих на нее сил в принципе позволяет нам точно определить все будущие состояния этой системы.

Так почему мы не можем применить то же самое уравнение для описания движения микроскопической частицы вроде электрона? Если электрон в данный момент находится в определенной точке и мы применяем к нему некоторую силу, например включая электрическое поле, то мы должны быть в состоянии сказать наверняка, что через пять секунд он будет находиться в такой-то точке.

Но это не так. Оказывается, уравнения, описывающие движения окружающих нас объектов, от песчинок и футбольных мячей до планет, в квантовом мире бесполезны.

Самое важное уравнение физики

Серьезный вклад в развитие теоретического понимания квантовой механики внес австрийский физик Эрвин Шрёдингер, который взял идеи де Бройля и поставил их на твердое математическое основание. Важно отметить, что существует несколько математических способов описать поведение квантовой системы вроде электрона или атома, и подход Шрёдингера – лишь один из них. Однако именно так квантовую механику обычно преподают студентам-физикам и так я буду ее разбирать на страницах этой книги.

Шрёдингер решил проверить, можно ли с помощью идеи де Бройля о волнах объяснить модель атома Бора. Напомню, Бор предположил, что электроны в атомах двигаются по фиксированным (квантованным) орбитам, но никто не знает, почему так происходит. Шрёдингер предложил новое уравнение, которое описывает не принцип движения частицы, а принцип развертывания волны. В результате у него получилось волновое уравнение.

В наши дни авторы научно-популярных книг об идеях современной физики, как правило, обходят стороной все математические уравнения, кроме Е=mc2, о котором я уже упоминал. Но уравнение Шрёдингера заслуживает хотя бы краткого обзора (см. формулу на странице 64), пускай и из эстетических соображений[16].

Результатом решения уравнения Шрёдингера является математическая величина, называемая волновой функцией. Именно здесь и проявляет себя вся вероятностная природа квантовой механики. В случае с электроном, к примеру, волновая функция не дает нам его точного положения в конкретный момент времени и раскрывает лишь вероятность того, что электрон окажется в том месте, где мы будем его искать. Само собой, вы сразу подумали: но этого мало! Сложно поверить, что мы не можем получить никакой более точной информации, чем сообщение о том, где может находиться электрон. Конечно, прочитав это, вы все равно ничего не поняли. Поэтому я постараюсь объяснить лучше.

Волновая функция содержит большое количество информации. В любой момент времени она обладает значением для каждой точки в пространстве. Так что, в отличие от положения в пространстве классической частицы, волновая функция распространяется на все пространство – отсюда и термин «волновая». Но не стоит думать, будто она представляет собой настоящую физическую волну наподобие волны света. Тут я должен признаться, что на самом деле никто не знает, что такое волновая функция. Большинство физиков считает ее абстрактной математической сущностью, которую можно использовать для получения информации о природе. Другие относят ее к ее собственной, очень странной отдельной реальности. В шестой главе мы увидим, что обе эти точки зрения могут быть одинаково справедливы. Как ни странно, важнее всего, что, вне зависимости от того, реальна волновая функция или нет, ее математические свойства остаются неизменными, а в том, что она может сообщить нам о поведении природы на субатомном уровне, нет никаких сомнений.

Давайте в качестве примера возьмем единственный электрон, заключенный в коробку. Представим, что мы точно знаем его изначальное положение, и введем эту информацию в уравнение Шрёдингера. Таким образом мы сможем рассчитать его волновую функцию для более позднего момента. Теперь давайте представим, что мы ввели в компьютерный файл или