Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс Страница 14

Синус, косинус и тангенс

Невозможно продолжать разговор о треугольниках, не познакомившись с этой ужасной троицей: синусом, косинусом и тангенсом. Мало кто из нас хорошо понимает, что скрывается за этими словами. Если не вдаваться в детали, это числа, связанные с длинами сторон прямоугольного треугольника. Сегодня мы чаще всего встречаемся с ними, нажимая на кнопки калькулятора. Еще совсем недавно они записывались в таблицах, которые собирались в брошюры: мой первый учитель геометрии в начале каждого урока раздавал ученикам такие брошюры – помню, обложка у них была красно-белая. Я также помню, что во всех этих синусах, косинусах и тангенсах лично я видел лишь инструмент решения бесполезных математических задач.

В чем вообще их смысл? Неясно, когда эти термины вошли в обиход, но вероятно, что вариации величин, которые они представляют, использовались многие тысячи лет. Помните египетского писца Ахмеса? В его папирусе содержится вопрос: “Если высота пирамиды составляет 250 локтей, а длина ее основания равна 360 локтям, каков ее секед?” Из решения, которое он предлагает, задействуя длины сторон прямоугольных треугольников, становится понятно, что “секед” соответствует нашему котангенсу, то есть противоположности тангенса. В этом случае это противоположность тангенса угла между основанием и гранью пирамиды. Впрочем, мы забежали вперед. Начнем с синуса.

Как синус получил свое название

Он получил свое название по ошибке. Все началось с описания прямой вертикальной линии, показанной на рисунке выше. Она называется хордой дуги, а дуга – это отрезок окружности, по форме напоминающий лук. На санскрите хорда обозначается тем же словом, что и тетива: jiya. В арабских переводах ее называли jayb, но в записи по традиции обходились без гласных, поэтому оставалось только jb. При переводе древних трактатов по геометрии на латынь это слово ошибочно приняли за jaib, то есть “пазуха”, и потому использовали соответствующее латинское слово sinus.

Откуда берутся синусы, косинусы и тангенсы

Но что это такое? Синусы, а также косинусы и тангенсы – это просто отношения сторон треугольника (или результаты их сопоставления). Синус угла a – это отношение вертикальной стороны треугольника (BC) к радиусу окружности (или гипотенузе треугольника, AB на рисунке). Иными словами, синус угла – это длина противолежащей стороны, деленная на длину гипотенузы. Косинус угла a – это отношение основания треугольника AC к радиусу AB. Тангенс угла a – это отношение вертикальной стороны (BC) к основанию (AC). Теперь, узнав это, мы можем отправляться в путь.

Поиск пути

“Вся навигация сводится к правильному треугольнику”, – сказал французский мореплаватель Гийом Дени в 1683 году[45]. Он имел в виду треугольник, который мы называем прямоугольным: по его словам, моряку достаточно изучить свойства этой фигуры. Эту истину установили много столетий назад, еще когда средиземноморские моряки начали использовать розы ветров. Роза ветров – это нанесенные на карту линии, соединяющие порты и другие примечательные места. Если карта верна, то угол наклона такой линии относительно севера позволяет проложить курс по компасу.

Моряки собирали розы ветров в портуланы – портовые книги, – которые широко использовались для навигации по Средиземному морю в XIII веке. Однако суда редко перемещались от порта к порту по прямой. Когда в ходе плавания они сбивались с курса – будь то из-за неблагоприятных ветров, из-за островов на пути или из-за встречи с пиратами, – математика треугольников, или тригонометрия, помогала морякам снова взять верный курс. Именно поэтому они всегда брали с собой либо таблицы синусов и косинусов, либо инструмент для их вычисления, например синусный квадрант.

Первое описание синусного квадранта было сделано в IX веке. Именно тогда аль-Хорезми, старший библиотекарь Дома мудрости в Багдаде (и человек, который познакомил нас с нулем в предыдущей главе), расчертил четверть круга на квадраты и прикрепил бечевку к точке в начале координат. Другой конец бечевки доходил до изогнутого края, поделенного на 90 градусов. Вдоль двух прямых сторон инструмента была нанесена шкала, поделенная на 60 единиц: с помощью одной из сторон вычисляли синус угла, с помощью другой – его косинус.

Синусный квадрант

Сегодня можно распечатать изображение синусного квадранта из интернета. Он поразительно прост в использовании: по сути, достаточно построить нужный угол с помощью бечевки и провести линию от края к шкале синусов или косинусов. Но будь вы моряком, которому нет дела до синусов и косинусов, на помощь вам пришла бы toleta de marteloio – тригонометрическая таблица, составленная специально для использования в мореходстве. По ней можно было определить, как скорректировать курс, если судно сошло с него из-за неблагоприятного ветра или по другой причине. Для этого достаточно было знать, сколько миль судно преодолело с отклонением от курса и насколько далеко от нужного курса оно идет. Toleta показывала, какое расстояние необходимо пройти по новому курсу, прежде чем судно вернется на изначальный курс.

При этом применялась другая диаграмма – роза румбов. Каждая ее четверть поделена на восемь румбов, соответствующих разным направлениям. В первой четверти, например, находятся румбы север-тень-восток, север-северо-восток, северо-восток-тень-север, северо-восток и так далее.

Роза ветров. Каждое из обозначенных на ней направлений – это румб

Давайте проверим, получится ли у нас рассуждать подобно моряку XIII века. Представьте, что вы хотите по морю дойти из Афин в Ираклион на Крите. Вам нужно преодолеть примерно 212 миль на юго-юго-восток, но ветер позволяет вам двигаться лишь в южном направлении. В ходе путешествия по Эгейскому морю вы сможете оценивать пройденное расстояние либо “счисляя координаты”, для чего вам придется определять скорость путем наблюдения за волнами за бортом, либо бросая в воду деревяшки и засекая время, за которое они преодолевают известное расстояние от носа до кормы. Допустим, вы прошли 75 миль и ветер сменился: теперь вы можете взять курс на восток-юго-восток. Но сколько вам нужно будет пройти в этом направлении, чтобы вернуться на изначально запланированный курс?

Как и сказал Дени, все сводится к прямоугольным треугольникам. С toleta de marteloio вам даже не придется заниматься тригонометрией. Если вы знаете, на сколько румбов от запланированного курса отстоял ваш изначальный курс и какое расстояние вы прошли, toleta покажет вам, сколько миль отделяет вас от нужного курса.