Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко Страница 2

на своем языке, и не все указатели и надписи легко перевести на русский. Иногда я буду приводить цитаты на языке аборигенов. Иначе говоря, в книге есть формулы. Но это вовсе не единственный алфавит языка математики. Формулы можно выразить графически, и я всегда буду сопровождать уравнения иллюстрациями, которые можно понять интуитивно. Почему же я не отказался от формул, как многие авторы научно-популярных книг? В нашей математической стране не принято верить каждому встречному, не принято сильно полагаться на интуицию, чутье и даже на опыт. Да, опыт, в отличие от физики или психологии, здесь имеет сравнительно невысокую цену. В ходу только доказательство — самая твердая валюта, которой неведомы ни девальвация, ни инфляция, ни мода, ни конъюнктура. Она не обесценивается тысячелетиями (и это не фигура речи, мы используем доказательства тысячелетней давности каждый день). Таким образом, все, что я вам здесь наговорю, не должно приниматься на веру. Любое мое утверждение, вывод, даже самый неожиданный, можно проверить строгими доказательствами. Именно поэтому везде, где уместно, есть ключи-заметки в виде формул, которыми я руководствовался. Это, впрочем, не лишает читателя возможности любоваться непонятными значками, воспринимая их как орнамент, а автор оставляет за собой право давать математическим закономерностям не очень серьезные и даже фривольные житейские интерпретации. Ведь так гораздо интереснее!

Глава 1. Знакомимся с неприятностями

Разновидности неприятностей

Какие-то наши неприятности детерминированы: случайности не играют в их возникновении ключевой роли. Например, если вам понизили зарплату на 10 %, а потом извинились и увеличили на 10 %, в итоге этих махинаций вы останетесь в убытке, поскольку:

x(1–0,1)(1 + 0,1) = x(1–0,01) < x.

Более того, если зарплату сначала повысят, а потом, не извинившись даже, понизят на те же 10 %, результат выйдет таким же. Ведь совершенно неважно, в каком порядке перемножаются коэффициенты. Это очень просто, немножко обидно, но к удаче отношения не имеет.

Примером случайной, хоть и весьма вероятной неприятности может быть волшебство, происходящее в наших карманах с наушниками: кладем их аккуратно смотанными в карман, а через полчаса там происходит чудо и вынимаем мы дикий узел проводов. В 2007 году вышла серьезная научная статья двух ученых из солнечного и безмятежного Сан-Диего под заголовком «Спонтанное образование узлов на возбуждаемой нити»[3]. В этой работе детально анализируется и моделируется запутывание наушников в кармане. Авторы, основываясь на теории узлов, теории вероятностей и физических экспериментах, убедительно показывают, что при стандартном способе сматывания наушники действительно должны запутываться, причем спустя всего лишь несколько секунд тряски. Впрочем, это мы и так наблюдаем почти каждый день. Сюрпризом здесь может оказаться только ожидаемая скорость запутывания.

Основной причиной образования узлов оказались, во-первых, петли, которые мы сами создаем, наматывая провод на руку, а во-вторых, три конца наушников: штекер и два динамика. В процессе случайного перемещения по карману они попадают в петли, что само по себе не страшно. Проблема возникает тогда, когда мы, пытаясь наушники распутать, тянем за эти концы. Тут-то и выясняется, что узлы на петле из веревки в трехмерном мире, раз появившись, не могут исчезнуть без нарушения целостности веревки. Пока мы трясем их, не выпуская концы наушников из рук, узлы, образованные этими концами и петлями, никуда не исчезают, а только затягиваются. Причем сами по себе петли ни в чем не виноваты. Если бы концов у наушников не было и они представляли собой замкнутое кольцо, то неразвязываемый узел образоваться бы не смог. Ведь узлы не только не исчезают, раз появившись, но и не возникают сами, если их изначально не было.

С этой неприятностью вполне можно бороться математическим способом: нужно либо исключить концы, что в случае наушников неинтересно, либо убрать петли. А это можно сделать с помощью операции сложения. Но не той, что мы изучали в школе, а той, что применяется к петлям на веревках и лентах. Как и числа, петли бывают разных знаков, причем для каждой «положительной» можно построить такую «отрицательную», что в сумме они дадут «ноль»: прямую веревку. Примеры таких петель показаны на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Примеры сложения петель разных знаков

Попробуйте мысленно нанизать на шнурок несколько таких петель разных знаков и вычислите результат и его знак. Чтобы наушники не запутывались, число положительных и отрицательных петель должно оказаться равным. Таких способов сложения проводов несколько, один из них показан на рис. 1.2. Здесь петли разных «знаков» появляются сразу парами и взаимно уничтожают друг друга, не формируя узлов. Уже много лет я складываю наушники именно так, чувствуя себя крутым топологом, и всякий раз радуюсь как фокусу, когда они сами собой полностью разматываются от одного небрежного встряхивания рукой.

Рис. 1.2. Один из способов складывания проводов, не приводящий к их запутыванию. Он хорош еще и тем, что попутно вы складываете пальцы в мудру любви

Но и среди стохастических по природе законов не все одинаково интересны. Например, закон Бука («Ключи всегда находишь в последнем кармане») не имеет рационального основания. Простой подсчет показывает, что при равной вероятности отыскать ключи для всех карманов последний ничем не отличается от прочих. Впрочем, этот закон можно трактовать разве что как забавный трюизм: утверждение Бука верно всегда, поскольку тот карман, в котором ключи будут обнаружены, окажется завершающим в процессе поиска и, следовательно, последним. Однако и здесь есть о чем поговорить. В процессе перебора карманов так называемая условная вероятность того, что ключи лежат в последнем из них, действительно повышается. Но это уже нельзя трактовать как вероятность того, что ключи находятся в последнем кармане, тут уже другая задача. Мы вернемся к этому примеру в главе 5.

Нас будут интересовать законы парадоксальные и поучительные, те, которые выглядят злым роком, выбирающим из множества вариантов самые досадные и неприятные, наперекор интуиции, подсказывающей, что этот вариант не должен быть самым вероятным. И, прежде чем приступить к детальным и точным рассуждениям о случайностях и вероятностях, предположим, что какая-то интуиция в отношении случайных процессов и вероятностей у нас