БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ФУ) Страница 29

  Соч.: CEuvres..., publiées par les soins de m. G. Darboux, t. 1—2, P., 1888—90; Analyse des équations déterminées, pt 1, P., 1831.

Ж. Б. Ж. Фурье.

Фурье интеграл

Фурье' интегра'л, формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f (x ) удовлетворяет на каждом конечном отрезке условию Дирихле (см. Фурье ряд ) и если сходится

,

то

.     (1)

  Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было дано позже другими математиками. Формулу (1) можно представить также в виде

,     (2)

где

;

.

  В частности для чётных функций

,

где

.

  Формулу (2) можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье для функций, имеющих период 2T , когда Т ® ¥. При этом а (u ) и b (u ) аналогичны коэффициентам Фурье функции f (x ). Употребляя комплексные числа, можно заменить формулу (1) формулой

.

  Формулу (1) можно преобразовать также к виду

     (3)

(простой интеграл Фурье).

  Если интегралы в формулах (2), (3) расходятся (см. Несобственные интегралы ), то во многих случаях их можно просуммировать к f (x ) при помощи того или иного метода суммирования . При решении многих задач используются формулы Ф. и. для функций двух и большего числа переменных.

  Лит.: Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М. — Л., 1948.

Фурье коэффициенты

Фурье' коэффицие'нты, коэффициенты

     (*)

разложения функции f (x) , имеющей период 2T , в ряд Фурье (см. Фурье ряд ). Формулы (*) называют формулами Эйлера — Фурье. Непрерывная функция f (x ) однозначно определяется своими коэффициентами Фурье. Ф. к. интегрируемой функции f (x ) стремятся к нулю при n ® ¥, причём скорость их убывания зависит от дифференциальных свойств функции f (x ). Например, если f (x ) имеет k непрерывных производных, то существует такое число с , что |an | £ c/nk , |bn | £ c/nk . Ф. к. связаны с f (x ) также следующим неравенством:

(см. Парсеваля равенство ). Ф. к. функции f (x ) по любой нормированной ортогональной на отрезке [а , b ] системе функций j1 (x ), j2 (x ),..., jn (x ),... (см. Ортогональная система функций ) равны

.

Фурье метод

Фурье' ме'тод, метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828. Решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным однородным и краевым условиям, ищется по Ф. м. как суперпозиция решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием собственных функций и собственных значений некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по найденным собственным функциям. В частности, разложение функций в ряды и интегралы Фурье (см. Фурье ряд , Фурье интеграл ) связано с применением Ф. м. для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Например, изучение малых колебаний струны длины l , имеющей закрепленные концы, сводиться к решению уравнения  при краевых условиях u (0, t ) = u (l , t ) = 0 и начальных условиях u (x ,0) = f (x ); u't (x , 0) = F (x ); 0 £ x £ l . Решения этого уравнения, имеющие вид X (x ) T (t ) и удовлетворяющие краевым условиям, выражаются формулой:

.

  Выбирая соответствующим образом коэффициенты An и Bn , можно добиться того, что функция

будет решением поставленной задачи.

  Ряд важных проблем, связанных с применением Ф. м., был решен В. А. Стекловым .

Фурье преобразование

Фурье' преобразова'ние (данной функции), функция, выражающаяся через данную функцию f (x ) формулой:

,     (1)

  Если функция f (x ) чётная, то её ф. п. равно

     (2)

(косинус-преобразование), а если f (x ) — нечётная функция, то

     (3)

(синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций

,     (4)

а для нечётных функций

.     (5)

  В общем случае имеет место формула

.     (6)

  Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще соответствующей операции над f (x ). Например, Ф. п. f '(x ) является iug (u ). Если

,     (7)

то g (u ) = g1 (u ) g2 (u ). Для f (x + а ) Ф. п. является eiua g (u ), а для c1 f1 (x ) + c2 f2 (x ) — функция c1 g1 (u ) + c2 g2 (u ).

  Если существует , то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. Сходимость ), причём

     (8)

(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство ) для рядов Фурье (см. Фурье ряд ). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F : f (x ) ® g (u ) является унитарным оператором в гильбертовом пространстве функций f (x ), — ¥ < x < ¥, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде

.     (9)

  При некоторых условиях на f (x ) справедлива формула Пуассона

,

находящая применение в теории тэта-функций .

  Если функция f (x ) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u  = v + iw . Например, если существует , а > 0, то Ф. п. определено при |w | < а. Ф. п. при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. Лапласа преобразование )

 .

  Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f (x ) таких, что (1 + |x |)–1 f (x ) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы обобщённых функций (т. н. медленного роста).

  Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например Бесселя функции , это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп . Другим является т. н. преобразование Фурье — Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции j(x ) Стилтьеса интегралом