БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (СИ) Страница 68

  Точечные преобразования симметрии g [x1, x2, x3] =  описываются линейными уравнениями:

x'1 = а11х1 + a12x2 + a13x3,

x'2 = a21x1 + a22x2 + a23x3,     (2)

x'3 = a31x1 + a32x2 + a33x3,

т. е. матрицей коэффициента (aij). Например, при повороте вокруг хз на угол a = 360°/N матрица коэффициентов имеет вид:

,     (3)

а при отражении в плоскости x1, x2 имеет вид:

     (3a)

Поскольку N может быть любым, число групп  бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллической решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го), которые обозначаются символами: 1, 2, 3, 4, 6, а также инверсионные оси:  (она же центр симметрии),  = m (она же плоскость симметрии), . Поэтому количество точечных кристаллографических групп, описывающих внешнюю форму кристаллов, ограничено. Эти 32 группы С. к. приведены в таблице. В международные обозначения точечных групп входят символы основных (порождающих) элементов симметрии, им присущих. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки (с периодами а, b, с и углами a, b, g) в 7 сингоний кристаллографических — триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность кристалла к той или иной группе определяется гониометрически (см. Гониометр) или рентгенографически (см. Рентгеновский структурный анализ).

  Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей. Эти группы называются группами 1-го рода. Группы, содержащие отражения, или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в которых есть зеркально равные части (но могут быть и совместимо равные части). Эти группы называются группами 2-го рода. Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах, условно называемых «правой» и «левой», каждая из них не содержит элементов симметрии 2-го рода, но они зеркально равны друг другу (см. Энантиоморфизм, Кварц).

  Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечных фигур. В живой природе часто наблюдается запрещенная в кристаллографии симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше. Например, для описания регулярной структуры сферических вирусов (рис. 4), в оболочках которых соблюдаются кристаллографические принципы плотной укладки молекул, оказалась важной икосаэдрическая точечная группа 532.

  Симметрия физических свойств. Предельные группы. В отношении макроскопических физических свойств (оптических, электрических, механических и др.), кристаллы ведут себя как однородная анизотропная среда, т. е. дискретность их атомной структуры не проявляется. Однородность означает, что свойства одинаковы в любой точке кристалла, однако при этом многие свойства зависят от направления (см. Анизотропия). Зависимость от направления можно представить в виде функции и построить указательную поверхность данного свойства (рис. 5, см. также ст. Кристаллооптика). Эта функция, которая может быть различной для разных физических свойств кристалла (векторной или тензорной) имеет определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огранения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше её по симметрии (принцип Неймана).

  Многие из свойств кристаллов, принадлежащих к определённым классам, описываются предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые ¥. Наличие оси ¥ означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в том числе бесконечно малый угол. Таких групп 7, они представлены на рис. 6 образцовыми фигурами и соответствующими символами. Т. о., всего имеется 32 + 7 = 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Зная группу С. к., можно указать возможность наличия или отсутствия в нём некоторых физических свойств (см. Кристаллы, Кристаллофизика).

Обозначения и названия 32 групп точечной симметрии

Сингония Обозначения Название Соотношение констант эле- ментарной ячейки международные по Шенфлису Триклинная С1 Моноэдрическая а ¹ b ¹ с С1 Пинакоидальная a ¹  b ¹  g ¹ 90° Моноклинная 2 С2 Диэдрическая осевая а ¹ b ¹ с m Cs Диэдрическая безосная a =  g = 90° 2/m C2h Призматическая  b ¹ 90° Ромбическая 222 D2 Ромбо-тетраэдрическая а ¹ b ¹ с mm C2u Ромбо-пирамидальная mmm D2h Ромбо-дипирамидальная a = b = g = 90° Тетрагональная 4 C4 Тетрагонально-пирамидальная а = b ¹ с a = b = g = 90° 422 D4 Тетрагонально-трапецоэдрическая 4/m C4h Тетрагонально-дипирамидальная 4mm C4u Дитетрагонально-пирамидальная 4/mmm D4h Дитетрагонально-дипирамидальная S4 Тетрагонально-тетраэдрическая D2d Тетрагонально-скаленоэдрическая Тригональная 3 C3 Тригонально-пирамидальная а = b = с a = b = g ¹ 90° 32 D3 Тригонально-трапецоэдрическая 3m C3u Дитригонально-пирамидальная C3i Ромбоэдрическая D3d Дитригонально-скаленоэдрическая C3h Тригонально-дипирамидальная Гексагональная D3h Дитригонально-дипирамидальная а = b ¹ с a = b = 90°  g = 120° 6 C6 Гексагонально-пирамидальная 62 D6 Гексагонально-трапецоэдрическая 6/m C6h Гексагонально-дипирамидальная 6mm C6u Дигексагонально-пирамидальная 6/mmm D6h Дигексагонально-дипирамидальная Кубическая 23 T Тритетраэдрическая а = b = с a = b = g = 90° m3 Th Дидодекаэдрическая Td Гексатетраэдрическая 43 O Триоктаэдрическая m3m Oh Гексоктаэдрическая

  Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов (кристаллической решётки) описывается пространственными группами симметрии . Характерными для решётки операциями являются три некомпланарных переноса а, b, с, называемых трансляциями, которые задают трёхмерную периодичность атомной структуры кристаллов. Сдвиг (перенос) структуры на векторы a1, b2, c3 или любой вектор t = p1a1 + p2b2 + p3c3, где p1, p2, p3 — любые целые положительные или отрицательные числа, совмещает структуру кристалла с собой, и следовательно, является операцией симметрии, удовлетворяющей условиям (1, а, б). Параллелепипед, построенный на векторах а, b и c, называется параллелепипедом повторяемости или элементарной ячейкой кристалла (рис. 7, а, б). В элементарной ячейке содержится некоторая минимальная группировка атомов, «размножение» которой операциями симметрии, в том числе трансляциями, образует кристаллическую решётку. Элементарная ячейка и размещение в ней атомов устанавливается методами рентгеновского структурного анализа, электронографии или нейтронографии.