Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики Страница 6

Нет сомнений относительно влияния, которое оказала логика — и особенно логика Аристотеля, создавшего не только силлогистику, но и заложившего основы общей теории аксиоматического (дедуктивного) метода (он изложил их во «Второй аналитике»), — на математику[14]. Таким образом, современный синтез математики и логики начал подготовляться еще в античную пору.

Рис. 1. Историческое развитие языково-мыслительных и математико-формализованных средств познания.

Подводя итог сказанному в этой главе, приведем схему подготовки и развития формализованных средств научного исследования, сделавших возможными современные достижения кибернетики и логики (рис. 1).

Как мы видим, все и в самом деле началось с обычного слова, с обиходного языка — необходимого условия мышления. В языке, этом драгоценнейшем из богатств человечества, образовались зародыши формализованного аппарата: с одной стороны, формальная логика, с другой стороны, арифметика (выразительные средства для описания чисел и их отношений) и доэллинская геометрия (средства для описания линий и фигур и их свойств). На определенной стадии культурного развития эти механизмы были экстрагированы из языка и стали развиваться самостоятельно, Эвклидову геометрию можно считать первым важным результатом их взаимодействия. Но в дальнейшем пути математики и логики сильно разошлись, и в течение многих столетий их считали совсем разными областями знания (настолько разными, что логику, как правило, причисляли к «гуманитарным» наукам, то есть к чему-то прямо противоположному наукам «точным», ядром которых является математика). Это произошло главным образом потому, что математика рано обрела формальные выразительные средства (символика алгебры, аналитической геометрии, а затем анализа), заговорила «на своем языке» и стала расти с исключительной интенсивностью. Логика же как бы временно зашла в тупик: ее изучение проводилось в основном на естественном языке, а это не давало больших результатов, ибо возникал своего рода порочный круг. Вспомним, что специфическая ценность логики заключается именно в тех особенностях, которые отличают ее от общеязыковых средств (это поняли еще древние), а исследовать и развивать ее пришлось этими же общеязыковыми средствами. Правда, уже Аристотель применял буквы для выражения структуры суждений и умозаключений, причем применял точно так же, как они ныне употребляются в математике (то есть как символы, на место которых можно подставлять объекты различного конкретного содержания). Но это был лишь первый шаг по направлению к «внеязыковой» формализации логики. Некоторые дальнейшие шаги (использование диаграмм) были сделаны средневековыми схоластическими логиками, развивавшими античную логическую традицию. Но далеко логика все же не могла уйти — у нее не было своей символики, ее душила немота.

Почему бы логике не прибегнуть к помощи своей родной сестры, так ее обогнавшей, математики? В конце концов логика именно это и сделала, но лишь в XIX веке, когда математика стала достаточно мощной и смогла разработать особый символический алфавит и правила обращения с его знаками, удовлетворяющие высоким требованиям исследования высказываний и рассуждений. С этого момента логика как бы родилась вторично и стремительна двинулась к воссоединению с математикой.

Итак, заминка была в выразительных средствах. Но не могла ли логика поискать их где-то вне математики?

Да, такой путь существовал, и опробован он был очень давно.

2. МЕХАНИЧЕСКОЕ РАССУЖДЕНИЕ

Вспомним еще раз, какие черты характеризуют логику как специфический элемент мышления и языка.

Прежде всего, логика, то есть логические правила рассуждений, относится не к конкретным языково-мыслительным образованиям (и этим наука логика отличается от таких наук, как ботаника или минералогия), а к их форме (структуре), и потому для логики безразлично, что эти образования означают (выражают), с какими объектами связываются в нашем сознании. Схемы логики реализуются в языке — в его словах, выражениях, предложениях, «блоках» предложений — текстах и т. п., неважно, произносятся ли они вслух или пишутся на бумаге. Если выражения языка шифруются определенными знаками (символами), то и в этой символической записи присутствует логика.

Далее, схемы (формы, правила) логики имеют отношение не ко всяким выражениям языка (и этим логика отличается от грамматики, орфографии или синтаксиса), а только к тем, которые представляют собой особые языково-мыслительные конструкции — такие, как описательные выражения (дескрипции), обозначающие индивидуальные предметы (примером может служить выражение «Воспитатель Александра Великого и ученик Платона», обозначающее Аристотеля); понятия, задающие классы предметов; суждения (высказывания), могущие содержать истинное знание либо неверно информировать о чем-то (ложь); умозаключения, представляющие собой правила логического перехода от одних (верных) суждений к другим; доказательства — более сложные конструкции, состоящие из суждений и умозаключений и нацеленные на обоснование истинности суждений, и ряд других. Для связи между этими конструкциями используются специальные «логические» слова типа «или», «и», «не» («неверно, что»), «если ..., то», «все», «некоторые», «следовательно» и многие другие. Центр тяжести при этом лежит в выведении одних (истинных) суждений, называемых заключениями (следствиями) из других, называемых посылками.

В силу сказанного логика — и это сейчас для нас основное — есть прежде всего совокупность правил и процедур, по которым следствия могут быть получаемы из посылок, причем эти правила и процедуры не зависят от содержания посылок и следствий, а также ни от каких субъективных (настроение, эмоции, отношение к упоминаемым в высказываниях ситуациям и т. д) или внешних (погода либо время года, когда производится рассуждение, конкретные условия, в которых находится рассуждающий, и т. п.) факторов, а зависят только от формы выражений и являются общими для всех выражений одной и той же формы, о чем бы в них ни говорилось. Это значит, что логика, будучи средством представления содержания, тем не менее слепа к содержанию в том смысле, что если имеются посылки определенной формы, то законы логики автоматически влекут следствия определенной формы, в которых участвуют элементы (термины, понятия, логические связки типа союзов «если..., то», «или» и т. п.), фигурирующие в посылках.

Слепота и автоматизм логики с древнейших времен и до наших дней вызывали у некоторых людей недоумение, а иногда и раздражение. Это прекрасно изображено Платоном: почти во всех диалогах противники Сократа, безукоризненно строящего формальные выводы, проявляют различные эмоции такого рода — от легкой досады до вспышек ярости.

В истории человеческой мысли было немало попыток умалить значение логики. Да и в XX столетии бушуют споры вокруг вопроса о значении логических принципов. В начале нашего века выдающиеся математики Л. Брауэр и Г. Вейль открыто выступили против классической — восходящей к Аристотелю — логики как базы математики (об этом подробнее мы скажем дальше); в наши дни имеется немало представителей точных наук (в основном физиков), которые требуют коренной переделки классической логики и ждут от этого революционных достижений в естествознании. Нет единой оценки основного свойства логики — ее формальности; нет и единого мнения относительно происхождения этого свойства; но текут века, кипят споры и страсти, а слепой механизм логики «существует, и ни зуб ногой».

Перечисленные выше свойства логики подсказывают тот самый «внематематический», но многообещающий путь развития этой науки, о котором было сказано в конце первой главы. Если логика слепа и бесстрастна, если ее законы обладают автоматизмом и если она может применяться к любым языково-мыслительным образованиям определенной структуры, то нельзя ли создать механическое устройство, которое по раз навсегда заданному шаблону перерабатывало бы определенные сочетания выражений языка (быть может, закодированные с помощью символов определенного рода) в другие сочетания языковых выражений (или их закодированных отображений)? Если бы это удалось сделать, получилась бы своего рода «логическая мясорубка»: стоит заложить в нее посылки, покрутить ручку — и выводятся следствия. Насколько это облегчило бы логические исследования, анализ различных вариантов научных теорий, построение цепочек умозаключений, громадных по длине высказываний, недоступных обычному рассмотрению!

В «Путешествиях Гулливера» Дж. Свифт повествует о Великой академии в Лагадо, ученые которой работали над самыми фантастическими проектами. Напомним об одном из таких мудрецов, встреченных Гулливером при осмотре лапутянской академии.