Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор Страница 59

3. Построение уравнений Эйнштейна

Теперь мы в состоянии построить уравнения гравитации в ОТО. Как мы рассказали в главе 6, в начале XX века было постулировано, что гравитационное взаимодействие выражается в искривлении пространства–времени. При этом пространство–время искривляется под воздействием материи, которая, в свою очередь, движется в этом искривлённом собой пространстве–времени. Это и есть логическая основа для построения уравнений общей теории относительности. Но как их построить правильно?

Логика очевидна: нужно связать тензор энергии- импульса материи с кривизной пространства–времени. Самый простой и очевидный способ: отнести Тab в правую часть уравнений, а левую определить как некую комбинацию компонент тензора кривизны. Но как это сделать? Дело в том, что все уравнения вместе (гравитационные уравнения и уравнения для материи) должны быть совместны, иначе не будет существовать решений. Но как мы уже отметили, анализ уравнений материи в искривлённом пространстве–времени приводит к выводу, что тензор энергии–импульс а материи должен удовлетворять закону сохранения (непрерывности). Но тогда, чтобы все уравнения были совместны, нужно найти такую комбинацию из величин, связанных с кривизной, и которую мы собираемся написать в левой части уравнений, чтобы она тождественно удовлетворяла такому же закону сохранения. Такая комбинация была найдена — это так называемый тензор Эйнштейна Gab, построенный из компонент тензора Римана, а в конечном итоге зависящий от метрического тензора. Тогда уравнения для гравитационного поля записываются в виде:

Gab = κТab.

Здесь κ — постоянная Эйнштейна, которая выражается через ньютонову гравитационную постоянную G и скорость света с: κ = 8πG/c4. Эти уравнения были построены и представлены Эйнштейном в работах 1915 и 1916 годов на основании соображений, изложенных выше. Практически одновременно они были представлены немецкими математиком Давидом Гильбертом.

4. Решение уравнений Эйнштейна

Но если есть уравнения, значит их нужно решать. То есть при ограничениях и условиях каждой конкретной задачи или модели нужно найти метрические коэффициенты в каждой точке пространства–времени и тем самым определить его геометрические свойства. Также необходимо найти, как в этом пространстве–времени распределена, движется и взаимодействует материя. Система гравитационных и материальных уравнений решается одновременно. Если можно так сказать, материя, искривляя пространство–время, распространяется в этом уже искривлённом собой пространстве–времени. То есть процесс «сцепленный». Именно поэтому изначально система гравитационных и материальных уравнений строилась как совместная. Однако чтобы система имела решения, нужно чтобы условия и ограничения модели также не были противоречивыми.

Уравнения Эйнштейна носят локальный характер, как и многие другие уравнения физики. Это значит, что величины, которые в них входят, относятся по отдельности к каждой точке пространства–времени (или его части), где модель определена или задача рассматривается. В этой связи рассуждения, которые привели к уравнениям, требуют дальнейшего пояснения. Может показаться, что если в некоторой точке (и её окрестности) нет материи, то в этой окрестности нет и кривизны. Это, конечно, неправильный вывод. Связь материи и искривлённости пространства-времени была использована, чтобы построить непротиворечивую (совместную) систему уравнений. После того как уравнения представлены, решать их можно (и нужно) и с нулевой правой частью тоже, то есть в отсутствие материи вообще. Эти решения называют вакуумными. Действительно, гравитирующее тело должно «продавливать» пространство–время не только в той части, где оно находится, но и на достаточном удалении, где никакой материи нет, то есть в вакууме. В противном случае просто не будет гравитационного взаимодействия. По этому поводу полезно привести аналогию с упругой плоской линейкой: её нельзя изогнуть только в одном месте, поскольку это будет означать, что она просто сломана. Так и здесь, если бы материя никак не прогибала окружающий вакуум, то на границе всегда возникали бы разрывы в описании различных физических величин, чего не наблюдается.

Уравнения в вакууме нужно решать, чтобы узнать насколько этот вакуум «продавлен» соседней материей. На конец, некоторые решения вакуумных уравнений представляют такие важные решения, как гравитационные волны, которые представляют собой свободное (без всякой материи) распространение метрических возмущений, о чем говорится в главе о гравитационных волнах.

Как только уравнения были получены, Эйнштейн стал искать их важные решения, в том числе и космологические. В то время считалось, что Вселенная статична А статическое космологическое решение никак не получалось — как выяснилось, оно просто не существует. Чтобы спасти статическое решение, Эйнштейн немного изменил уравнения. Это оказалось возможным без нарушения закона сохранения для левой части. К тензору Эйнштейна можно добавить член с так называемой космологической постоянной — Λ. Уравнения Эйнштейна в 1917 году приобрели вид:

Это не помогло — статическое космологическое решение этих уравнений существует, но это решение неустойчиво, следовательно, не может быть моделью реального мира. Тем не менее, понятие космологической постоянной оказалось востребованным, особенно в последнее время.

5. Координаты Леметра

В этом дополнении мы обсуждаем координаты для чёрной дыры Шварцшильда, свободные от дефектов на горизонте. Их предложил Леметр, как систему отсчёта, сопутствующую свободно падающим наблюдателям. Смысл её в том, что в каждую точку пространства помещается наблюдатель. Наблюдатели никак не взаимодействуют между собой, они лишь свободно падают к центру, формально представляя собой точки. Каждому наблюдателю приписываются три пространственных координаты, которые вместе образуют пространственные координаты всего пространства–времён и. А собственное время каждо

Рис. Д1. Пространство–время геометрии Шварцшильда в сопутствующих координатах Леметра

го наблюдателя вместе определяет координатное время новой системы отсчёта. Форма решения сохраняет сферическую симметрию, поэтому можно сказать, что Леметр сделал переход от шварцшильдовых координат t и r к координатам сопутствующих наблюдателей (сопутствующей системе отсчёта) τ и R.

Мы не приводим форму решения Леметра, а вот диаграмма на рис. 8.2 в его координатах принимает форму, представленную на рис. Д1. Обсудим её. Наклонные на рис. Д1 соответствуют вертикальным линиям постоянных значений координаты r на рисунке 8.2, включая линии горизонта r = rg и сингулярности r =0. Вертикальные на рис. Д1 — мировые линии сопутствующих наблюдателен. Как видно, они без помех пересекают горизонт.

Проследим за формой световых конусов на рис. Д1. Вне горизонта наклон «лепестков» превосходит 45°, на горизонте он равен 45°, а под горизонтом становится все меньше: конусы сужаются при приближении к «центру». Поскольку распространение лучей света происходит как раз по направлению конусов, а материальных частиц — по мировым линиям внутри конусов, то ясно, что вне горизонта r = rg возможно движение с удалением от горизонта во внешнюю область. По достижении горизонта такое движение невозможно. Под горизонтом становится неизбежным движение к «центру».

6. Система отсчёта ускоренных наблюдателей

После того как определены понятия пространства Минковского в главе 5, собственного времени в главе 7 и горизонта событий в главе 8, интересно обсудить пространство–время ускоренных наблюдателей. Пусть один из таких наблюдателей движется прямолинейно вдоль оси х в пространстве Минковского с постоянным ускорением с2/Х в направлении х. Пусть таких наблюдателей много и их ускорения меняются от бесконечности до нуля, что соответствует изменению X от 0 до ∞.

Рис. Д2. Мировые линии ускоренных наблюдателей

На рис. Д2 на диаграмме пространства Минковского в лоренцевых координатах х и t изображены мировые линии таких ускоренных наблюдателей: каждому наблюдателю соответствует своё значение X. Чем больше ускорение наблюдателя, тем его мировая линия ближе к началу координат. Ускорение каждого из них направлено в сторону увеличения х. Поэтому изначально двигаясь к началу координат, они снижают скорость до нуля при t = 0, а затем движутся в обратном направлении.