Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор Страница 60

Поскольку скорости этих наблюдателей не могут превысить световые, то их мировые линии ограничены световыми конусами: А-0 и 0A+, они вместе образуют так называемый «угол Риндлера». Кроме того, угол Риндлера — это предельная мировая линия наблюдателя, ускорение которого стремится к бесконечности, Эти конусы имеют смысл горизонта событий. Конус А-0 является горизонтом событий прошлого — ускоренные наблюдатели никак не могут повлиять на события за этим горизонтом. Конус 0A+. является горизонтом событий будущего, поскольку ускоренным наблюдателям недоступны для наблюдения события за этим горизонтом. Этот горизонт аналогичен горизонту шварцшильдовой чёрной дыры, в чем легко убедиться, сравнив рис. Д2 с диаграммой в координатах Леметра на рис. Д1.

Точно так же, как была представлена пространственно-временная диаграмма для сопутствующих наблюдателей в координатах Леметра, можно представить пространственно–временную диаграмму для равномерно ускоренных наблюдателей. Для этого каждому такому наблюдателю сопоставляют свою пространственную координату со значением X. Тогда метрика пространства Минковского (вернее его части, заключённой в углу Риндлера), в координатах этих ускоренных наблюдателей принимает форму:

Здесь Х0 — произвольный пространственный масштаб, позволяющий сохранить размерность, кроме того, для наблюдателя, у которого X = Х0, эта система является локально лоренцевой. Эти координаты введены американским физиком Вольфгангом Риндлером, и представлены на диаграмме на рис. Д3. Каждому ускоренному наблюдателю соответствует вертикальная прямая с соответствующим значением X. Вертикальная прямая X = 0 соответствует горизонту Риндлера. Если время Т является координатным временем в системе Риндлера, то собственным временем для ускоренного наблюдателя является τ = (g00)1/2T = XT/Х0 как это было определено в главе 7.

Для ускоренного наблюдателя с параметром Х0 собственное время совпадает с координатным. Собственное время ускоренных наблюдателей идёт тем быстрее, чем больше X, и тем медленнее, чем меньше X.

Рис. ДЗ. Координаты Риндлера

В этом проявляется сильный принцип эквивалентности (глава 6) — ускорение имитирует действие гравитационного поля, где ход часов замедляется тем сильнее, чем больше потенциал.

На горизонте собственное время «замораживается», в этом смысле ситуация аналогична поведению собственного времени для наблюдателей в пространстве–времени шварцшильдовой чёрной дыры. Если мы проследим за формой светового конуса, то для наблюдателя Х0 его «лепестки» наклонены под «стандартным» углом 45° (это как раз потому, что для него система Риндлера оказалась локально лоренцевой). Для больших X угол наклона «лепестков» увеличивается, для меньших X — уменьшается. На горизонте «лепестки» световых конусов вообще слипаются, точно также, как на горизонте на диаграмме Шварцшильда, см. рис. 8.2. Горизонт в метрике Риндлера представляет лишь координатную особенность, как и горизонт в координатах Шварцшильда. Но поскольку система ускоренных наблюдателей — это система в пространстве Минковского, то в отличие от решения Шварцшильда, «решение Риндлера» не имеет истинной сингулярности.

Наконец, обратимся к мировой линии покоящегося наблюдателя в пространстве Минковского — на рис. Д2 вертикальная линия x1 = const Она соответствует кривой линии на рис. Д3. Координаты Риндлера охватывают лишь часть пространства Минковского, как видно из рис. Д2, поэтому ясно, что кривая на рис. Д3 отвечает лишь части истории покоящегося наблюдателя на рис. Д2.

7. Однородность и изотропия Вселенной

Рис. Д4. Расслоение пространства-времени на пространственные сечения

Приведём более строгие, чем в главе 6, определения однородности и изотропии. Почему это важно? Эти понятия определяются на данный момент времени, а космологическое пространство меняется со временем. В теории Ньютона в этом нет проблемы, поскольку понятие времени абсолютно. В СТО тоже нет больших проблем, определившись с выбором какой‑либо инерциальной системы отсчёта, наблюдатель также имеет единое время. А в ОТО, да ещё в переменном по времени решении, ситуация сложнее. Поясним это на примере того же решения Фридмана: ds2 = c2dt2 - a2(t)dl2. Здесь каждому значению времени соответствует пространство со своим значением масштабного фактора a(t). Пространство–время как бы распадается на слои — пространства, сложенные «стопочкой». Ход времени определяется переходом от одного слоя (пространственного сечения) к другому, а каждый слой отвечает своему единственному моменту времени, На рис. Д4 такое расслоение произвольного пространства–времени изображено символически, каждый слой — это 3–мерное пространство в данный момент времени. Для вселенной Фридмана каждое такое 3–мерное пространство и однородно, и изотропно. Но это про из о шло потому, что для поиска решений Фридман специально выбрал такую удобную систему координат именно с этим определением времени. На самом деле можно выбрать другую систему координат, для которой сечения одновременности уже не будут ни однородными, ни изотропными. В неоднородной же Вселенной подобрать однородные пространственные сечения вообще невозможно.

Теперь можно дать строгое определение: Вселенная однородна, если через каждую мировую точку (событие) проходит пространственное сечение однородности. В каждой точке на таком сечении плотность ρ, давление р и кривизна пространства должны быть одинаковы.

Теперь определим изотропию Вселенной. Рост масштабного фактора означает и расширение материи, заполняющей Вселенную. На каждую частицу расширяющегося вещества можно мысленно «посадить» сопутствующего наблюдателя. Вселенная изотропна если, каждый сопутствующий наблюдатель не может отличить одно направление от другого.

Если Вселенная изотропна, то она автоматически однородна. Действительно, если это не так, то будут какие‑то её части с разной плотностью, давлением и т. п. Но тогда, найдутся выделенные направления к областям с разными характеристиками, а это нарушение изотропии. А вот однородная Вселенная может быть анизотропной. Но для всех сопутствующих наблюдателей эта анизотропия будет одинаковой. Таких моделей Вселенной существуют целые семейства, они до сих пор активно исследуются, Поскольку изотропия Вселенной подтверждена с определённой точностью, то модели с меньшей величиной анизотропии имеют право на жизнь.

В качестве наглядного и простого примера рассмотрим однородную, но анизотропную космологическую модель, предложенную американским математиком Эдвардом Казнером (1878–1955) в 1922 году. Эта вселенная, в отличие не выдумано, а является решением уравнений Эйнштейна. Параметры р1, p2, p3 удовлетворяют двум соотношениям р1+ p2 + p3 = 1 и р12+ p22 + p32 = 1. Отсюда следует, что все числа не могут быть равными одновременно, мало того, одно из них всегда отрицательно. Исключение составляют два вырожденных случая.

от фридмановской, без материи, хотя её можно заполнить веществом, но «пробным», так что оно не влияет на геометрию. Решение Казнера, метрика которого имеет вид

Поскольку модель пустая, то пространство характеризуется только значениями кривизны в каждой точке. Эти значения определяются только моментом времени и одинаковы во всех точках пространства, так как метрические коэффициенты не зависят от пространственных координат, то есть пространство однородно. Из ограничений на параметры можно сделать вывод, что эта вселенная расширяется. Действительно, элемент объёма dV = tр1+p2+p3dxdydz = tdxdydz увеличивается пропорционально времени. Однако увеличивается такая вселенная довольно странно — по двум координатам расширяется (тем, которым соответствуют положительные параметры), а по третьей — сжимается (ей соответствует отрицательный параметр), Очевидно, что это анизотропное поведение.