Дмитрий Сочивко - Расколотый мир. Опыт анализа психодинамики личности человека в экстремальных условиях жизнедеятельности Страница 15

До сих пор мы рассматривали функций как отображение одного множества (область определения) в другое, т. е. как некоторое множество пар объектов. Такие функции называются функциями одного аргумента, но, однако, рассматривать функции двух и более аргументов как множества троек, четверок и т. д. Линейные функции нескольких аргументов широко используются в психологии личности. Личность в этом случае представляется как линейная функция некоторого конечного множества признаков. Введенные на данный момент понятия позволяют дать точное определение того, что мы будем в дальнейшем понимать под термином «модель». Моделью мы будем называть пару множеств, причем первым членом пары выступает множество реальных или идеальных объектов (в качестве последних чаще всего используются числа или буквы), а вторым членом пары является множество отношений, заданных над множеством объектов. При этом, конечно, мы не ограничиваемся рассмотрением только бинарных отношений (хотя часто этого бывает достаточно), в множество отношений могут входить отношения любого порядка арности. Максимальный порядок арности отношений, входящих в модель, будем называть размерностью модели.

Примером модели может служить множество букв русского языка, множеством отношений является множество слов в словаре русского языка.

Из данного нами определения модели можно заключить, что любой объект действительности прежде всего является моделью самого себя. Для того чтобы некоторый объект мог выступать моделью другого объекта, должно существовать инъективное отображение пары множеств, представляющих первый объект, на пару множеств, представляющих второй объект. Таким образом, модель представляет собой некоторое множество объектов и их комбинаций (отношений), при этом максимальная длина комбинации (порядок арности отношения) называется размерностью модели. Каждый объект действительности является моделью самого себя, это по существу означает то, что отношение «быть моделью» является рефлексивным. Некоторый объект (как множество своих элементов и их комбинаций) является моделью другого объекта тогда и только тогда, когда существует инъективное отображение первого объекта на второй, инъективность этого отображения показывает нам, что модель не полно отражает объект, а лишь некоторую его часть в зависимости от того, как задано отображение.

В нашем примере словарь русского языка является моделью реального мира, так как существует сюръективное отображение множества слов на множество объектов и отношений внешнего мира.

Обратим теперь внимание на то, что модель прежде всего является множеством более простых и более сложных объектов (отношений). Следовательно, над этим множеством вновь можно определить отношение, т. е. построить комбинации уже скомбинированных определенным образом объектов (в нашем примере слов – комбинаций букв). А следовательно, можно вновь определить пару множеств, первым членом которой выступает исходная модель, а вторым – множество отношений, заданных уже над этой моделью. Такую пару множеств мы будем называть модель второго порядка. Очевидно, что таким образом можно определить модель любого порядка. В нашем примере моделью второго порядка будет некоторое множество комбинаций слов, т. е. текстов на русском языке.

В заключение исследуем само отношение «быть моделью». Мы уже видели, что это отношение является рефлексивным, так как каждый объект является моделью самого себя. Очевидно также, что если один объект является моделью другого, то в силу сюръективности отображения первого объекта на второй, этот второй совсем не обязательно будет моделью первого объекта. Следовательно, это отношение не является симметричным. Ясно также, что если этот второй объект является моделью некоторого третьего, то и первый будет являться моделью третьего. Таким образом, отношение «быть моделью» является рефлексивным и транзитивным. Такие отношения называются отношениями нестрогого порядка.

1.3. Операции и алгебры

Введем понятие бинарной операции. Говорят, что на множестве А задана бинарная операция, если задано отображение f: А2 → А, которое каждой паре элементов из А2 ставит в соответствие единственный элемент из А. Бинарную операцию называют также двухместной. Ясно, что можно определить n-местную операцию, если задать отображение, которое набору (a1…. аn) ∈ A ставит в соответствие единственный элемент a ∈ А. Нас, однако, в дальнейшем будут интересовать только бинарные операции, которые мы будет называть просто операциями. На множестве А можно задать несколько операций, множество которых в этом случае называется сигнатурой множества А. Множество А вместе с его сигнатурой называется алгеброй. Легко видеть, что задание n-местной операции совпадает с заданием некоторого n+1-арного отношения. Таким образом, всякая алгебра является моделью.

Рассмотрим теперь множество А с заданной на нем операцией, которую мы будет обозначать Т. Нас сейчас не интересует, какова эта операция – она может быть любой, удовлетворяющей приведенному выше условию. Алгебра (А, Т) называется группоидом. Если в группоиде действует закон ассоциативности, который означает, что для любых трех элементов имеет место равенство

то такой группоид называется полугруппой. Закон ассоциативности означает, что в полугруппе можно любым способом расставлять скобки при записи действия операции на некоторое множество элементов из А. Поэтому если задана полугруппа, то скобки в записи могут быть опущены. Полугруппа, в которой существует нейтральный элемент, определяемый следующим свойством:

а также для каждого элемента а принадлежащего А существует обратный элемент a-1 ∈ А, такой, что

называется группой. Итак, непустое множество элементов произвольной природы называется группой, если: 1) над этим множеством задана бинарная операция, 2) выполняются условия (9)—(11).

Отметим, что в определении фигурирует множество элементов произвольной природы, значит, таким множеством может быть и множество самих операций. Над таким множеством можно определить новую бинарную операции, ставящую в соответствие любой паре операций некоторую третью. Обычно в качестве такой операции рассматривают последовательное выполнение двух операций из исходного множества, для этого необходимо, чтобы всякая композиция двух операций вновь давала операцию из заданного множества. Если при этом также выполняются условия (9)—(11), то заданное множество операций является группой. Еще раз отметим, что сами операции могут быть совершенно произвольной природы.

Исследуя закономерности формирования детского интеллекта, Ж.Пиаже показал, что развитие операциональных способностей детей идет в направлении формирования структур операций, удовлетворяющих условиям группы. Действительно, с началом овладения ребенком речью (после первого года жизни) он уже способен осмысленно выполнять некоторые операции с объектами окружающего мира. Через некоторое время ребенок уже способен комбинировать операции, например, он способен положить несколько формочек одну в другую, затем ребенка можно научить выполнять операции в определенном порядке, например, складыванию пирамидки. Однако эти операции еще не являются ассоциативными: ребенок может их выполнять только в одном усвоенном порядке. Несколько позже множество операций уже удовлетворяет закону ассоциативности; так как формируются обратные операции и тождественная операция, выступающая в качестве нейтрального элемента (надеть это колечко, снять то колечко, оставить это колечко на месте). Таким образом, относительно наиболее простых из окружающих предметов у ребенка довольно рано формируются структуры операций, являющиеся группами. Операции с другими, более сложными объектами формируются несколько позже, многочисленные примеры того можно найти в трудах Ж.Пиаже. Здесь, однако, надо отметить, что сами объекты внешнего мира не всегда позволяют совершать с ними все те операции, которые должны входить в множество, называемое группой. Так, например, если смешать две жидкости, то их обычно уже невозможно вновь отделить одну от другой. Из этого, однако, не следует, что интеллект человека не владеет такой обратной операцией. Действительно, представьте себе, что хозяйка смешала две жидкости в неправильной пропорции. Для установления и исправления этого факта ей необходимо вновь представить жидкости несмешанными, что она с легкостью делает. Таким образом, приобретение множеством усвоенных человеком операций свойств группы (в смысле математико-психодинамического моделирования его поведения) может выступать в качестве критерия зрелости человеческого интеллекта, как, впрочем, и личности в целом. Г. Гельмгольц писал, что прежде чем сделать какое-либо обобщение, он всегда переживал стадию, когда объект его изысканий был целиком представлен в уме без опоры на записи и выкладки. Эту стадию сопровождало переживание свободы комбинаций и перекомбинаций мыслей, их соединения и разъединения, совместного рассмотрения утверждений и отрицаний. Мы видели, что объект, с которым совершаются операции, не всегда позволяет совершать все те операции, которые входят в структуру групп. При этом человек, естественно, располагает знанием о том, какие операции он не может совершить, какие являются необратимыми, и т. д., следовательно, некоторые элементы группы операций являются как бы помеченными. Такие структуры знания Ж.Пиаже назвал группировками, а Б.Гриз в специальной работе формализовал понятие группировки, дополнив множество условий, определяющих группу.