Дмитрий Сочивко - Расколотый мир. Опыт анализа психодинамики личности человека в экстремальных условиях жизнедеятельности Страница 16

Пусть теперь элементами исходного множества являются взаимно однозначные (биективные) отображения некоторого множества A в себя. Такие отображения называются подстановками. Например, пусть имеется множество A = {1, 2, 3, 4}. Тогда смена: 1234 → 2413 изображает подстановку элементов множества А, в которой 1 переходит в 2, 2 в 4, 3 в 1, 4 в 3. В силу биективности отображения мы легко можем построить обратное к нему, где 2 переходит в 1, 4 в 2, 1 в 3, 3 в 4. Точно так же можно определить нейтральное, или, как говорят, тождественное отображение, которое переводит каждый элемент в себя. Определим теперь операцию произведения подстановок как последовательное их выполнение. Обозначим вышеприведенную подстановку буквой «с» и выберем еще некоторую подстановку «р» элементов множества А: 1234 → 3142.

Для того чтобы построить произведение двух подстановок мы должны к результату подстановки «c» применить подстановку «р», которая переводит: 1→3, 2→1, 3→4, 4→2. Мы получим новую подстановку:

1234 → 2413 → 1234.

Мы получили тождественную подстановку, следовательно, р = с-1, a с = p-1. Легко видеть, что заданная на множестве подстановок операция подчиняется закону ассоциативности, а следовательно, множество подстановок, заданных над множеством А, является группой. Заметим также, что множество подстановок некоторого конечного множества, состоящего из k элементов, называют также симметрической группой порядка k.

Приведем пример симметрической группы подстановок как модели психических явлений эмоциональной сферы личности. В отечественной психологии распространено представление о существовании четырех базовых эмоциональных состояний: радости, гнева, страха и печали. Будем считать, что в любой момент времени человек находится в одном из указанных состояний, интенсивность переживания эмоций может быть, конечно, различной: от сильного гнева до едва осознаваемой раздражительности, от сильной радости до удовлетворенности – нас это сейчас не интересует. Важно, что с течением времени человек переходит из одного эмоционального состояния в другое. Таким образом, динамика эмоциональной жизни человека представляет собой подстановку, а множество возможных эмоциональных состояний есть симметрическая группа порядка 4. Эта группа является конечной и содержит 24 различных подстановки. Это число, однако, слишком велико для того, чтобы использовать эту группу для типологии эмоциональности личности. Действительно, в экспериментальном исследовании, проведенном с помощью специально разработанной нами методики на основе нижеописанной модели, выяснилось, что число типов (подстановок), которые с большей частотой встречаются среди людей, гораздо меньше. В дальнейшем анализе выяснилось, что чаще всего встречаются три следующих подстановки (обозначим эмоции начальными буквами):

Мы видим, что в каждой из этих подстановок пары эмоций образуют как бы независимые подстановки или циклы. Так, например, в первом случае гнев сменяет печаль, а печаль – гнев, точно так же, как радость – страх, а страх – радость. В таких случаях говорят, что подстановка допускает разложение на независимые циклы, цикл из двух элементов называется транспозицией. Для обозначения циклов используют запись: (ГП), (PC), а вся подстановка рассматривается как произведение циклов – (ГП)(РС). Отметим, что если подстановка не может быть разложена на независимые циклы, то она сама может рассматриваться как цикл. Этот факт используют для сокращенной записи подстановок. Так, например, уже использованная нами подстановка «с» может быть записана в виде цикла (1243), а подстановка «р» – как (3421). Здесь уже легко видеть, что подстановка «р» является обратной «с» и наоборот. Работа в области эмоциональной сферы позволила нам в дальнейшем распространить вышеописанный подход и на другие личностные составляющие, а именно волю и познание, а также высший личностный синтез, направляемый читательским поведением (см. выше). Кроме того, такая модель представления психических явлений позволяет как элиминировать их принципиальную расколотость Другим, в том смысле, что это самое непознаваемое Другое оказывается как бы в середине цикла (например, парного радость – страх) и уже «не мешает» изучать психическую (в данном случае эмоциональную) жизнь человека, представляя ее как циклическую смену состояний, т. е. психодинамически.

Рассмотрим теперь некоторое подмножество множества А, над которым задана операция, и которое вместе с этой операцией является группой. Подмножество В множества А вместе с той же самой операцией может вновь уже само по себе образовывать группу. Если некоторое подмножество множества элементов группы вновь образует группу относительно той же самой операции, то такое подмножество вместе с заданной операцией называется подгруппой исходной группы. Итак, для того чтобы непустое подмножество В данной группы А было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) множество В вместе с любыми двумя своими элементами содержит и результат применения к ним заданной операции; 2) множество В содержит вместе с каждым своим элементом и обратный к нему B-1.

Возвращаясь теперь к нашему примеру, предлагаем читателю показать, что если к трем указанным подстановкам: (ГП)(РС), (ГР)(ПС), (ГС)(ПР) добавить тождественную подстановку, то мы получим подгруппу симметрической группы порядка 4. Эта подгруппа называется четверной подгруппой Клейна. Кроме того, эта подгруппа является так называемой нормальной подгруппой. Для того чтобы ввести понятие нормальной подгруппы, нам необходимо предварительно определить понятие смежного класса. Пусть A' есть некоторая подгруппа группы А; а – некоторый элемент из А. Тогда множество всех произведений аA' называется левым смежным классом группы А по подгруппе A'. Соответственно множество всех произведений вида – A'a называется правым смежным классом. Очевидно, что заданная в группе операция совсем не всегда является коммутативной, т. е. для любых двух элементов a и b из группы А совсем не всегда верно

следовательно, правый смежный класс совсем не всегда будет равен левому смежному классу по одной и той же подгруппе.

Если равенство (12) верно для любых двух элементов группы, то такая группа называется коммутативной или абелевой. Однако даже если сама группа А и не является абелевой, возможна такая ситуация, что существует подгруппа группы А – A', такая, что

верно для любого элемента a ∈ A. В этом случае подгруппу A' называют нормальной или инвариантной подгруппой группы A. Ясно, что в коммутативной группе всякая ее подгруппа, включая и ее саму, является нормальной. Два смежных класса могут быть равными и тогда, когда элементы a и b не равны. Это происходит в том случае, если элемент a-1 лежит в подгруппе А:

Ясно, что произведение a-1b на подгруппу, которая содержит этот элемент, равно самой этой подгруппе, из чего следует последнее равенство в выражении (14). Покажем далее, что два различных смежных класса не имеют ни одного общего элемента. Если бы два смежных класса содержали общий элемент, например, ac1 = bc2, где c1 и c2 элементы из A', то из этого следовало бы, что

А из этого в силу (14) следует, что классы aA' и bA' совпадают. Таким образом, множество смежных классов по данной подгруппе образует разбиение исходной группы на классы эквивалентности. Исходя из этого, можно вывести важное соотношение между порядком группы (напомним, что порядок группы равен числу ее элементов, если группа конечна), порядком подгруппы и числом смежных классов по данной подгруппе. Ясно, что если группа А распадается на k классов, в каждом из которых содержится ровно столько элементов, сколько в подгруппе, то можно записать равенство

где Х – порядок группы А, а х – порядок группы A'. Возвращаясь к нашему примеру группы подстановок эмоциональных состояний человека, можно сказать, что множество подстановок, входящее в нормальную подгруппу (четверную подгруппу Клейна), представляет собой множество типичных эмоциональных состояний человека, в то время как все остальные возможные эмоциональные состояния входят в те или иные смежные классы, определенные по данной нормальной подгруппе. Аппарат теории групп позволяет, таким образом, существенно усовершенствовать подход к определению психологических типов (по тем или иным признакам) как набора непересекающихся множеств людей.