Дмитрий Сочивко - Расколотый мир. Опыт анализа психодинамики личности человека в экстремальных условиях жизнедеятельности Страница 17

А из этого в силу (14) следует, что классы aA' и bA' совпадают. Таким образом, множество смежных классов по данной подгруппе образует разбиение исходной группы на классы эквивалентности. Исходя из этого, можно вывести важное соотношение между порядком группы (напомним, что порядок группы равен числу ее элементов, если группа конечна), порядком подгруппы и числом смежных классов по данной подгруппе. Ясно, что если группа А распадается на k классов, в каждом из которых содержится ровно столько элементов, сколько в подгруппе, то можно записать равенство

где Х – порядок группы А, а х – порядок группы A'. Возвращаясь к нашему примеру группы подстановок эмоциональных состояний человека, можно сказать, что множество подстановок, входящее в нормальную подгруппу (четверную подгруппу Клейна), представляет собой множество типичных эмоциональных состояний человека, в то время как все остальные возможные эмоциональные состояния входят в те или иные смежные классы, определенные по данной нормальной подгруппе. Аппарат теории групп позволяет, таким образом, существенно усовершенствовать подход к определению психологических типов (по тем или иным признакам) как набора непересекающихся множеств людей.

Ранее мы показали: для того чтобы один объект можно было рассматривать в качестве модели другого, должно существовать сюрьективное отображение множества элементов модели на множество элементов моделируемого объекта. В этом параграфе мы ввели понятие алгебры как модели, состоящей из абстрактных элементов (т. е. абстрактной модели). Оперирование с такими абстрактными моделями, как было показано на примере групп, является гораздо более экономичным, чем оперирование с реальными объектами, кроме того, математическая теория абстрактных моделей ограждает исследователя от ошибок. Следовательно, необходимо ввести правило, позволяющее заменять любые имеющиеся модели на абстрактные. Для этого необходимо построить отображение одной модели в другую, причем это отображение должно быть биективным или взаимно однозначным. Важно, однако, сохранить не только взаимную однозначность перехода элементов одной модели в элементы другой, но также и однозначность действия операции или, в общем случае, сохранение отношений между элементами. Следовательно, отображение одной модели в другую (абстрактную) должно удовлетворять следующим двум условиям:

Такое отображение называется изоморфизмом. Если, однако, отображение f не биективно, а сюрьективно, то оно называется гомоморфизмом. В этом последнем случае абстрактная модель уже не полно отражает модель-объект. Тем не менее чаще всего с этим приходится мириться, так как добиться изоморфизма моделей бывает очень трудно или невозможно.

Среди алгебр крайне важными являются такие структуры с двумя заданными внутренними операциями. Пусть на множестве определены операции сложения и умножения, которые ставят в соответствие любой паре элементов множества соответственно их сумму и произведение, это множество называется кольцом, если: 1) относительно операции сложения исходное множество образует абелеву группу; 2) действие операции умножения над исходным множеством удовлетворяет закону ассоциативности: а × bс = ab × c; 3) две операции связаны между собой законом дистрибутивности:

1.4. Линейные пространства

Пусть имеется множество М, состоящее из элементов произвольной природы. Пусть также над этим множеством задана операция сложения, и относительно этой операции данное множество М образует абелеву группу (группа относительно операции сложения часто также называется аддитивной группой или модулем). Если при этом имеется также некоторое поле К, элементы которого будут называться скалярами или коэффициентами, и определено умножение элементов К на элементы М, удовлетворяющее следующим требованиям. Для любых ∀х, у ∈ М и a,b ∈ K: 1) хa лежит в М; 2) (х + у) а = ха + уа; 3) х (а + в) = ха + хв; 4) х1 = х; 5) х (ав) = (ха) в. Множество М в таком случае называется линейным пространством. В линейном пространстве операция умножения является внешней операцией. Таким образом, каждый элемент пространства может быть представлен уже не только как комбинация каких-то его элементов, но и как результат некоторого внешнего действия на какой-то его элемент. Очевидно при этом, что результат внешнего действия обязательно лежит в М.

Приведем некоторые важнейшие примеры задания линейных пространств.

Пусть множество векторов задано в трехмерном евклидовом пространстве. Два вектора считаются равными, если равны их длины, а сами векторы направлены в одну и ту же сторону. Нулевым вектором является вектор нулевой длины. Сложение векторов производится по правилу параллелограмма, умножению на скаляр соответствует растяжение вектора. В качестве поля скаляров используется поле действительных чисел. Легко проверить, что заданное множество векторов относительно операции сложения образует модуль, а операция умножения на действительное число удовлетворяет перечисленным требованиям.

Пусть множество М состоит из всевозможных упорядоченных наборов действительных чисел по k чисел в каждом. Упорядоченность набора означает, что числа определенным образом занумерованы, при этом они, однако, не обязаны быть различными. Пусть элемент х ∈ М задан набором х = {х1, х2…. хк}, а элемент у = {у1, у2, …, ук}. Элементы х и у будут равны в том и только в том случае, если х1 = у1, х2 = у2, …, хк = ук Определим линейные операции в М следующим образом:

где а – коэффициент из поля действительных чисел. Нулевым элементом в множестве М является набор 0 = {0,…, 0} противоположным элементом элемента х является элемент – x = {—х1, ………, – хk } Легко видеть, что множество М образует аддитивную группу. Предоставляем читателю проверить, что умножение наборов действительных чисел на действительное число по правилу (19) удовлетворяет требованиям 1)—5). Таким образом, множество М образует линейное пространство. Такое пространство является хорошей моделью психологического теста в его статическом варианте. Пусть имеется некоторое множество заданий (вопросов или утверждений), называемых тестовыми пунктами, и множество людей, называемых испытуемыми, которые, указывая некоторое действительное число, выражают степень своего согласия с утверждением тестового пункта (либо другие люди, называемые экспертами, указывают степень выполнения задания). Обычно для ответов испытуемым предлагается заранее заготовленный набор (целых) чисел, например от единицы до пяти или десяти, иногда также для ответа предлагается отрезок прямой, на котором испытуемый точкой отделяет часть, соответствующую степени его согласия. Тем или иным способом каждому испытуемому в результате тестирования ставится в соответствие набор действительных чисел, упорядоченный в соответствии с порядком предъявления испытуемому тестовых пунктов. Далее наборы, полученные для всех испытуемых, складывают по правилу (19). Полученный в результате сложения набор умножается на коэффициент, равный единице, деленной на количество испытуемых, подвергшихся тестированию. Таким образом, полученный набор называют психологической нормой теста для данной группы испытуемых. Если противоположный норме набор сравнить с набором, полученным в результате ответов конкретного испытуемого, то полученный результат называется характеристикой данного испытуемого в данной группе по данному тесту. Если протестированная группа испытуемых достаточно велика и разнообразна (со статистической точки зрения), т. е. является репрезентативной относительно генеральной совокупности, то можно говорить просто о характеристике испытуемого по тесту.

Итак, результаты психологического тестирования представляют собой векторы (упорядоченные наборы чисел также иногда называют k-мерными векторами) некоторого линейного пространства. Это линейное пространство в свою очередь, рассматривается как пространство того психологического свойства, которое подверглось тестированию. Результаты оформляются в виде таблицы.